^	Intro	Taak	Proces	Evaluatie	Conclusie	Bronnen	@

1, 2, 3, veel...

Proces

Logboek

Een onderdeel van het in te leveren werkstuk is een logboek. Daarin noteer je wanneer je wat gedaan hebt. Zo'n logboek kan heel beknopt zijn: geen eindeloze verhalen, maar korte notities zoals "woensdag 29/1: 13.00-14.00 webartikelen over <onderwerp> gelezen; 14.00-15.00: eerste opzet van het hoofdstuk gemaakt". Je moet vooral met de opdracht zelf bezig zijn, en niet met allerlei administratieve rompslomp. Je complete logboek past waarschijnlijk op 1 A4'tje. Maar dat A4'tje moet er dan wél zijn aan het eind! Een logboek bijhouden kost geen tijd, als je het tenminste consequent bijhoudt, en niet 2 dagen later nog moet bedenken wat je eergisteren ook al weer gedaan had.

Deel 1 - Hilbert's hotel

Tip vooraf: je zult op Engelstalige webpagina's terecht komen, waar wellicht wiskundige vaktaal gebruikt wordt. Als je moeilijke woorden tegenkomt, kijk dan eens naar mijn woordenlijstje, of kijk anders op de Bronnen pagina waar links staan naar woordenboeken voor Engelstalige wiskundetermen.

In de Intro heb je een stukje gelezen over Hilbert's Hotel. Je zag dat, zelfs als het hotel vol was, er nog best één gast extra in kon: iedereen verhuisde naar de volgende kamer, en zo kwam kamer 1 vrij voor de nieuwe gast. Naar aanleiding hiervan:

• Onderzoek wat een bijectie (1-op-1 correspondentie) is en hoe dat begrip gebruikt kan worden om te laten zien dat 2 verzamelingen (zoals {1, 2, 3} en {aap, noot mies}) even groot zijn.
• Onderzoek wat we verstaan onder de kardinaliteit van een verzameling.
• Leg uit hoe bovenstaand scenario uit Hilbert's Hotel bewijst dat de verzameling {1, 2, 3, ...} dezelfde kardinaliteit heeft als de verzameling N (de natuurlijke getallen, dus {0, 1, 2, 3, ...}).
• Onderzoek hoe het verhaal over Hilbert's Hotel verder gaat: wat doet mijnheer Cantor om de oneindig veel nieuwe gasten die aan het eind van het verhaal arriveerden een kamer te geven? Leg uit hoe dit aantoont dat de verzameling 'E' van even getallen {0, 2, 4, 6, ...} even groot is als de verzameling N. Geef expliciete functies die N op E afbeelden en andersom. M.a.w. geef een f(x) die bij ieder element van N een (uniek) element van E produceert, en een functie g(x) die het omgekeerde doet (erg simpel! zoek hier niet te veel diepzinnigs achter).
• Geef duidelijke voorbeelden van nog een paar verzamelingen die even groot zijn als N. Geef daarbij ook steeds de functies f(x) en g(x) zoals hiervoor.

In het werkstuk

Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk exact beschreven. Met 'exact' bedoelen we dan: zo nauwkeurig, zonder details over te slaan, dat een klasgenoot die niets van dit onderwerp weet het probleemloos zou kunnen volgen.

Deel 2 - Oneindig vaak oneindig veel gasten

Het kan echter nog erger met dat hotel: op zekere dag komen er oneindig veel bussen met ieder oneindig veel gasten aan. Maar ook die kunnen allemaal nog een kamer krijgen!

Bekijk de verzameling Q van alle breuken. Bedenk je dat je alle breuken als volgt zou kunnen ordenen: eerst alle breuken met teller 1, dan alle breuken met teller 2, enzovoorts. Dus {1/1, 1/2, 1/3, ... , 2/1, 2/2, 2/3, ... 3/1, 3/2, ... }.

• Leg uit hoe het hierboven staande hotel-probleem vertaald kan worden in een vraag over hoe groot de verzameling Q is.
• Onderzoek hoe je alle nieuwe gasten een kamer kan geven. Of, wat hetzelfde is, toon aan dat N en Q even groot zijn, oftewel dat Q aftelbaar ('countable') is.

Realiseer je dat het volgende geen oplossing is: laat eerst alle gasten uit de 1e bus een kamer krijgen, en dan alle gasten uit de 2e bus, enz. Omdat er oneindig veel gasten in de 1e bus zitten, moeten de gasten uit de 2e bus dan oneindig lang wachten tot ze aan de beurt komen! Als het inchecken van een gast een minuut duurt, dan wil je een manier hebben om iedere gast te kunnen vertellen wanneer hij aan de beurt is. Anders gezegd: als je eerst alle breuken met teller=1 opsomt, dan kom je nooit aan de breuken met teller=2 toe. Hoe som je de breuken zó op, dat ze gegarandeerd allemaal aan de beurt komen?

• Voor bonuspunten (vrijwillig dus; hoef je niet te maken, maar mag wel als je er lol in hebt of extra punten wilt). Eerst wat nadenken en dan de vraag...
  Bedenk je het volgende: stel dat we weer 2 functies f(x) en g(x) hebben die respectievelijk N op Q afbeelden en andersom. Om een bijectie te hebben is het dan voldoende als we ieder element van N via f(x) op een uniek element van Q afbeelden, zonder dat we alle elementen van Q gebruiken, en andersom! Met andere woorden: de beide functies hoeven het bereik (= de y-waarden: voor f is dat Q en voor g is dat N) niet 'uit te putten'. Dat is merkwaardig. Immers, bij 2 even grote eindige verzamelingen kan dat helemaal niet: stel je iets voor met 5 appels en 5 bananen: bij iedere appel moet je een unieke banaan vinden. Dat kan best, maar dan heb je wel zeker alle bananen "opgebruikt". Andersom idem natuurlijk.
  Bij oneindige verzamelingen werkt dat wat subtieler. Neem weer E (de even getallen) en N. De functie g(x) van E naar N zou nou gewoon kunnen zijn: g(x) = x (zodat we in N alleen de even getallen gebruiken als beeld, de oneven getallen blijven ongebruikt). Voor f(x) nemen we f(x) = 4x (waarmee we maar de helft van de even getallen "opgebruiken" - ga na). Daarmee is bewezen dat N en E even groot zijn. Het is geen voor de hand liggende aanpak, maar het klopt wel. Zorg dat je goed snapt dat dit klopt. Het idee is dit: als g(x) E op een gedeelte van N afbeeldt, dan is E dus 'kleiner of gelijk' aan N (als je bij 2 appels 2 bananen vindt, dan heb je dus minstens 2 bananen: de zak appels is dan kleiner of gelijk aan de zak bananen) Als f(x) iets soortgelijks andersom doet, is N dus 'kleiner of gelijk' aan E. Oftewel N <= E, en E <= N (<= is "kleiner of gelijk"). Daar kan alleen maar uit volgen dat N = E... Jawel, het is en blijft een merkwaardig vak...
  (Voor de ware hobbyist: een functie die bij iedere x een unieke y geeft, is injectief. Een functie die alle mogelijke y's "opgebruikt", is surjectief. Een functie die tegelijk een injectie én een surjectie is, is een bijectie.)

Nu het probleem. We willen een bijectie tussen N en Q hebben. Van N naar Q is, na het bovenstaande, makkelijk: we nemen gewoon f(x) = x. Ieder natuurlijk getal is immers ook een breuk, en we hoeven niet perse alle breuken te gebruiken, dus basta. We moeten nu alleen nog g(x) vinden, die bij iedere breuk een uniek (!) natuurlijk getal produceert. Oftewel: we moeten een manier hebben om de breuken te tellen. De bonusopdracht is: vindt een functie g(x) die bij iedere breuk een uniek natuurlijk getal als resultaat geeft. Dit is serieus lastig... al zijn er wel websites die je hiermee kunnen helpen...

In het werkstuk

Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk beschreven.

Deel 3 - Volgens Cantor kan het nog groter

Je zult ondertussen het idee hebben dat iedere hoeveelheid gasten altijd een plek in het hotel kan krijgen. Dat lijkt ook logisch: oneindig is immers oneindig, en of je dat nou 1 keer hebt of 2 keer of tienduizend keer, dat doet er dan toch niet toe?

Zo simpel ligt dat helaas (of gelukkig?) niet. De wiskundige Georg Cantor bewees eind 19e eeuw dat er verzamelingen bestaan die echt groter zijn dan de verzameling N. Het bekendste voorbeeld van zo'n verzameling is R, de verzameling van alle reële getallen. Die bevat evenveel elementen als er punten op een lijn (= het continuum) zijn. Als er dus zoveel nieuwe gasten in Hilbert's Hotel zouden arriveren, zou de manager een probleem hebben: zoveel gasten passen er echt niet in het hotel!

Cantor's bewijs, dat bekend staat als het diagonaalbewijs van Cantor, is een (prachtig en tamelijk eenvoudig) bewijs uit het ongerijmde: ga uit van het tegendeel van wat je wilt bewijzen en laat zien dat dat tot een tegenspraak leidt. Dan was je aanname dus fout, en heb je bewezen wat je wilde bewijzen.

• Onderzoek en beschrijf precies hoe het diagonaalbewijs van Cantor werkt. Er zijn lichtelijk verschillende varianten in omloop, maar ze komen allemaal op hetzelfde neer - laat je daar dus niet door van de wijs brengen.
• Voor bonuspunten: leg uit wat de continuumhypothese inhoudt. In die uitleg dienen begrippen als kardinaliteit, machtsverzameling ('power set'), aleph-0 en aleph-1 voor te komen (zie o.a. mijn woordenlijstje). Als je dit onderdeel niet maakt, kost dat geen punten. Als je het wel maakt, kan het je echter extra punten opleveren.

In het werkstuk

Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk beschreven.

Deel 4 - kritiek

Dit bestaat uit 2 delen:

1. Lees het werkstuk van een klasgenoot (je "partner"). Schrijf een korte maar heldere beoordeling van dit werkstuk. Doe dat zo, dat de ander er ook echt iets aan heeft en er zijn/haar werkstuk mee kan verbeteren. Je kunt bijvoorbeeld aangeven welke stukken je onduidelijk vindt of niet snapt. Deze beoordeling geef je, samen met het werkstuk uiteraard, terug aan je partner.
   Kritiek is altijd opbouwend: de ander heeft er iets aan en je kraakt niet redeloos zomaar iets af. Kritiek kan ook positief zijn: als je iets erg goed vindt, is dat óók interessant voor de ander!
   Let op: het is niet de bedoeling dat je het werkstuk van de ander op wiskundige correctheid controleert. Je hoeft niet al het rekenwerk na te rekenen, enz. Het gaat er om of het werkstuk zo geschreven is, dat je begrijpt waar het over gaat.
2. Laat je partner jouw werkstuk lezen en van kritiek voorzien. Voor zover die kritiek zwakke plekken van jouw werkstuk aan het licht brengt: verwerk de kritiek in je eigen werkstuk voordat je het inlevert.

Denk er om dat dit wat tijd kost: de ander moet je werk lezen en er iets over schrijven, en vervolgens moet jij dat krijgen en er nog iets "intelligents" mee doen (en andersom natuurlijk). Zorg er dus voor dat de ander jouw werk op tijd heeft! Bedenk je ook dat jullie beiden pas je werkstuk kunnen inleveren als je allebei dit onderdeel hebt afgerond (uiteraard). Jullie zijn dus erg op elkaars timing aangewezen!

In het werkstuk

Zowel de kritiek die je voor de ander geschreven hebt, als de kritiek die je van de ander op jouw werkstuk hebt gehad, komen in het werkstuk, als appendix.

Deel 5 - presentatie

Geef een presentatie voor de klas over je werkstuk. De presentatie duurt maximaal 15 minuten. Dat is kort, dus zorg dat je die tijd zinvol gebruikt. Een presentatie is niet hetzelfde als "het werkstuk voorlezen" - integendeel. Het is onmogelijk, en ook zeker niet de bedoeling, dat het hele werkstuk aan bod komt. Neem een interessant gedeelte en ga daar dieper op in. Het lijkt me in dit geval voor de hand liggend om b.v. te laten zien waarom er evenveel even als natuurlijke getallen bestaan (dat is dus het concept van 1-op-1 correspondentie (bijectie), al hoef je die kreet niet te gebruiken in je verhaal). Je legt zeker ook uit hoe het diagonaalbewijs van Cantor werkt. Daarmee zijn die 15 minuten dan wel vol.

Tot besluit

Het bovenstaande lezend, kan je de indruk krijgen dat dit werkstuk ontzettend veel werk is. Het is behoorlijk wat werk, ja, maar minder dan het op het eerste gezicht lijkt. Je moet weliswaar op tijd beginnen om alles af te krijgen (dat geldt ook voor de andere opdrachten), maar het is minder rampzalig dan het er uit ziet. Onderdeel 1, 2 en 3 zijn per stuk korter dan je zou denken als je het bovenstaande leest. En als je vastloopt, is er altijd nog de email-knop...

Zorg dat je werkstuk er verzorgd uitziet. Nette hoofdstukindeling, alineaindeling, goed gebruik van kopjes waar nodig, een niet al te grote letter gebruiken, inhoudsopgave, bronvermelding, functioneel gebruik van illustraties, enzovoorts. Zie ook het hoofdstuk Evaluatie voor dingen waar je op moet letten.

Achterin het werkstuk voeg je als appendix toe:

• het logboek, waarin je bijgehouden hebt wanneer je wat hebt gedaan;
• de "kritiek" die je voor het werkstuk van je klasgenoot geschreven hebt.
• de "kritiek" die je klasgenoot voor jouw werkstuk geschreven heeft.

Het werkstuk wordt op tijd ingeleverd. Op het moment dat je het inlevert wordt er een afspraak gemaakt voor de presentatie die je gaat houden.

home| introductie | taak | proces | evaluatie | conclusie | bronnen | email