^	Intro	Taak	Proces	Evaluatie	Conclusie	Bronnen	@

Zonnebloemetjes en bijtjes

Proces

Logboek

Een onderdeel van het in te leveren werkstuk is een logboek. Daarin noteer je wanneer je wat gedaan hebt. Zo'n logboek kan heel beknopt zijn: geen eindeloze verhalen, maar korte notities zoals "woensdag 29/1: 13.00-14.00 webartikelen over <onderwerp> gelezen; 14.00-15.00: eerste opzet van het hoofdstuk gemaakt". Je moet vooral met de opdracht zelf bezig zijn, en niet met allerlei administratieve rompslomp. Je complete logboek past waarschijnlijk op 1 A4'tje. Maar dat A4'tje moet er dan wél zijn aan het eind! Een logboek bijhouden kost geen tijd, als je het tenminste consequent bijhoudt, en niet 2 dagen later nog moet bedenken wat je eergisteren ook al weer gedaan had.

Deel 1 - Fibonacci's reeks

Tip vooraf: je zult op Engelstalige webpagina's terecht komen, waar wellicht wiskundige vaktaal gebruikt wordt. Als je moeilijke woorden tegenkomt, kijk dan eens naar mijn woordenlijstje, of kijk anders op de Bronnen pagina waar links staan naar woordenboeken voor Engelstalige wiskundetermen.

Deel 1a: Inleiding

In de Intro heb je wat gelezen over de voorouders van een dar (mannetjesbij). Naar aanleiding van dat verhaaltje:

• Zoek uit hoeveel ouders, grootouders, overgrootouders... een dar heeft. Doe dat voor minstens 8 generaties voorouders.
• Laat de dar zelf generatie 0 zijn, zijn ouder(s) generatie 1, de grootouders generatie 2, enzovoorts. Bij mensen zou het simpel zijn: als er in de n-de generatie A mensen zijn, zijn er in de n+1-de generatie uiteraard 2A mensen. Je kunt dat in een formule gieten: als A(n) het aantal voorouders in de n-de generatie is, dan is A(n+1) = 2*A(n). Probeer een dergelijke formule te vinden waarmee je voor de dar het aantal voorouders in de n+1-de generatie kunt uitrekenen met behulp van de aantallen uit voorgaande generaties.
• Zoek op het web op wat de reeks van Fibonacci is: beschrijf exact hoe deze reeks in elkaar zit. Geef een tabel met de eerste 20 termen van de reeks. Wat is het verband met de voorouders van een dar?

Deel 1b: Puzzelen

Afspraak: we zullen het voortaan over F(n) hebben als we het n-de Fibonacci getal bedoelen. We beginnen bij 0 te nummeren, en laten de reeks met 1,1,2,... beginnen (sommigen beginnen met 0,1,1,2,... maar dat doen we dus niet). Dus F(0) = F(1) = 1, enzovoorts.

• Ga naar http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibpuzzles.html#bricks. Je vindt daar een puzzel over het bouwen van een muurtje van 2 eenheden hoog. Beschrijf deze puzzel precies, en leg nauwkeurig uit (dus eigenlijk: bewijs) waarom de reeks van Fibonacci hier het antwoord is. Het antwoord staat ook op deze website (dat is makkelijk), maar vertel het zo duidelijk mogelijk in je eigen woorden (en zorg dat je het goed snapt).
• Zoek uit wat het oorspronkelijke probleem was dat Fibonacci tot de ontdekking van deze reeks bracht. Beschrijf het probleem, en laat zien dat de reeks van Fibonacci hier inderdaad een rol speelt. Probeer (weer) te bewijzen/beargumenteren waarom dit zo is (lastiger dan de vorige). Als je hier niet uit komt, is dat geen ramp, zolang je maar laat zien wat je gedaan/geprobeerd hebt.
• Waar komt de reeks van Fibonacci in de natuur voor? Geef een paar voorbeelden, zonder al te veel "gedoe" er omheen.

Deel 1c: Een bijzondere verhouding

Ga naar de Bronnen pagina, en download daar onder 'Materialen' de Fibonacci spreadsheet. Als je geen Excel hebt is dat geen ramp en kun je het volgende "met de hand" doen. Excel-gebruik verdient echter de voorkeur. Start Excel en open de spreadsheet.

• Je ziet 3 kolommen: n, F(n) en F(n+1)/F(n). Bestudeer de formules die in de diverse kolommen staan en zorg dat je snapt wat ze doen. Vul de ontbrekende cellen in (t/m n=20), zodat overal wat staat. Beschrijf wat er gebeurt in de kolom F(n+1)/F(n). Laat Excel hier een lijndiagram van tekenen: (n op de horizontale as en de F(n+1)/F(n) op de verticale as). Neem de grafiek in je werkstuk op. Probeer zo nauwkeurig mogelijk te bepalen wat er op de lange termijn gebeurt (dus voorbij n=20).
• Leg de volgende bewering uit: op de lange termijn groeit de reeks van Fibonacci nagenoeg exponentieel. Geef de bijbehorende exponentiële groeiformule. Neem F(10) als begingetal.
• Maak eens een "Fibonacci-achtige" reeks: hetzelfde "bouw"-recept, alleen begin je nu met 2 andere getallen dan 1 en 1 voor F(0) en F(1). Doe dit een paar keer en beschrijf het effect van de begingetallen op de kolom met F(n+1)/F(n).

In het werkstuk

Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk exact beschreven. Met 'exact' bedoelen we dan: zo nauwkeurig, zonder details over te slaan, dat een klasgenoot die niets van dit onderwerp weet het probleemloos zou kunnen volgen.

Deel 2 - de Gulden Snede

We beginnen met het volgende probleem. Je wilt een rechthoek maken die zodanige afmetingen heeft dat als je er een vierkant vanaf haalt, de resterende rechthoek dezelfde verhoudingen heeft. Zie onderstaande figuur.

De lange zijde noemen we x en de korte zijde 1.

• Druk de verhouding (lange zijde):(korte zijde) voor beide rechthoeken uit in x. Stel de twee verhoudingen aan elkaar gelijk en toon aan dat dit, met wat omschrijven, een kwadratische vergelijking oplevert. Bereken x (bijvoorbeeld m.b.v. je grafische rekenmachine).

De waarde die je voor x gevonden hebt, heet de Gulden Snede. In de wiskunde wordt deze vaak Phi genoemd (met hoofdletter, uitspraak 'fie'). De omgekeerde verhouding, 1/Phi, heet phi (kleine letter).

• Leg een verband tussen de reeks van Fibonacci en Phi (na Deel 1 moet dat makkelijk zijn).
• Toon aan dat phi = Phi - 1. Dit kan je meteen in de vorige opdracht meenemen - als het goed is staat het daar al (ongeveer).
• Na het weghalen van het vierkant hierboven heb je weer een "gulden rechthoek" over. Daar kan je weer een vierkant vanaf halen waarna je een kleinere rechthoek overhoudt, enzovoorts, enzovoorts. Zoek uit hoe dat proces kan leiden tot de tekening van een zgn. logaritmische spiraal. Maak zelf een dergelijke tekening. Geef een voorbeeld van waar een dergelijke spiraal in de natuur voorkomt.
• Ook in het menselijk lichaam komt de verhouding Phi veelvuldig voor. Geef een paar voorbeelden van waar die verhouding geacht wordt in het menselijk lichaam voor te komen, en doe metingen aan je eigen lichaam (of dat van iemand anders) om te controleren of het een beetje klopt. Geef een duidelijk overzicht van wat je hebt gemeten, wat de uitkomsten zijn, enz.

In het werkstuk

Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk beschreven.

Deel 3 - een efficiënte zonnebloem

Je bent al web-surfend misschien al de zonnebloem tegengekomen. Als een zonnebloem zaadjes laat groeien, dan doet hij dat zo dat het oppervlak van het bloemenhart zo goed mogelijk gebruikt wordt. M.a.w.: zo min mogelijk lege plekken, en voor ieder zaadje zoveel mogelijk ruimte.

• Download van de Bronnen pagina (in de Materiaal sectie) de spreadsheet "zonnebloem". Onderzoek hiermee wat er gebeurt als een zonnebloem, vanuit het midden beginnend, ieder volgend zaadje b.v. over 180 graden (dus een fractie 0.5 van de 360 graden) gedraaid zou laten groeien. Leg duidelijk uit waarom het gebruik van breuken (1/5 * 360, of 3/11 * 360) geen goede tactiek voor de zonnebloem is. Let op: je uitleg moet betrekking hebben op alle breuken en dus niet op een paar concrete gevallen.
• Ga na dat het gebruik van Phi of phi wel een goede "pakking" oplevert. Tel hoeveel spiralen er linksom lopen en hoeveel er rechtsom lopen (pagina printen - dat is makkelijker tellen). Wat is het verband met Fibonacci? Van dit en het vorige onderdeel neem je uiteraard plaatjes op in je werkstuk.
• Er zijn ook andere verhoudingen die een goede pakking opleveren. Zoek zo'n verhouding, en tel in het zonnebloemhart hoeveel spiralen er linksom en hoeveel er rechtsom lopen. Als het goed is vind je nu getallen die niet in de reeks van Fibonacci zitten. Deel die twee getallen op elkaar: wat concludeer je? Leg, indien mogelijk, een verband met wat je bij het laatste punt van Deel 1 hebt gedaan.

In het werkstuk

Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk beschreven.

Deel 4 - kritiek

Dit bestaat uit 2 delen:

1. Lees het werkstuk van een klasgenoot (je "partner"). Schrijf een korte maar heldere beoordeling van dit werkstuk. Doe dat zo, dat de ander er ook echt iets aan heeft en er zijn/haar werkstuk mee kan verbeteren. Je kunt bijvoorbeeld aangeven welke stukken je onduidelijk vindt of niet snapt. Deze beoordeling geef je, samen met het werkstuk uiteraard, terug aan je partner.
   Kritiek is altijd opbouwend: de ander heeft er iets aan en je kraakt niet redeloos zomaar iets af. Kritiek kan ook positief zijn: als je iets erg goed vindt, is dat óók interessant voor de ander!
   Let op: het is niet de bedoeling dat je het werkstuk van de ander op wiskundige correctheid controleert. Je hoeft niet al het rekenwerk na te rekenen, enz. Het gaat er om of het werkstuk zo geschreven is, dat je begrijpt waar het over gaat.
2. Laat je partner jouw werkstuk lezen en van kritiek voorzien. Voor zover die kritiek zwakke plekken van jouw werkstuk aan het licht brengt: verwerk de kritiek in je eigen werkstuk voordat je het inlevert.

Denk er om dat dit wat tijd kost: de ander moet je werk lezen en er iets over schrijven, en vervolgens moet jij dat krijgen en er nog iets "intelligents" mee doen (en andersom natuurlijk). Zorg er dus voor dat de ander jouw werk op tijd heeft! Bedenk je ook dat jullie beiden pas je werkstuk kunnen inleveren als je allebei dit onderdeel hebt afgerond (uiteraard). Jullie zijn dus erg op elkaars timing aangewezen!

In het werkstuk

Zowel de kritiek die je voor de ander geschreven hebt, als de kritiek die je van de ander op jouw werkstuk hebt gehad, komen in het werkstuk, als appendix.

Deel 5 - presentatie

Geef een presentatie voor de klas over je werkstuk. De presentatie duurt maximaal 15 minuten. Dat is kort, dus zorg dat je die tijd zinvol gebruikt. Een presentatie is niet hetzelfde als "het werkstuk voorlezen" - integendeel. Het is onmogelijk, en ook zeker niet de bedoeling, dat het hele werkstuk aan bod komt. Neem een interessant gedeelte en ga daar dieper op in. Je kunt bijvoorbeeld de klas het muurtjes-probleem laten oplossen en zo de reeks van Fibonacci introduceren. Laat dan zien hoe die samenhangt met de Gulden Snede, enzovoorts. Pas op: 15 minuten zijn zo vol, dus neem niet te veel hooi op je vork. En vooral: wees creatief!

Tot besluit

Het bovenstaande lezend, kan je de indruk krijgen dat dit werkstuk ontzettend veel werk is. Het is behoorlijk wat werk, ja, maar minder dan het op het eerste gezicht lijkt. Je moet weliswaar op tijd beginnen om alles af te krijgen (dat geldt ook voor de andere opdrachten), maar het is minder rampzalig dan het er uit ziet. Er zijn wel heel veel onderdelen te doen, maar per stuk zijn ze niet onoverkomelijk lang of lastig. En als je vastloopt, is er altijd nog de email-knop...

Zorg dat je werkstuk er verzorgd uitziet. Nette hoofdstukindeling, alineaindeling, goed gebruik van kopjes waar nodig, een niet al te grote letter gebruiken, inhoudsopgave, bronvermelding, functioneel gebruik van illustraties, enzovoorts. Zie ook het hoofdstuk Evaluatie voor dingen waar je op moet letten.

Achterin het werkstuk voeg je als appendix toe:

• het logboek, waarin je bijgehouden hebt wanneer je wat hebt gedaan;
• de "kritiek" die je voor het werkstuk van je klasgenoot geschreven hebt.
• de "kritiek" die je klasgenoot voor jouw werkstuk geschreven heeft.

Het werkstuk wordt op tijd ingeleverd. Op het moment dat je het inlevert wordt er een afspraak gemaakt voor de presentatie die je gaat houden.

home| introductie | taak | proces | evaluatie | conclusie | bronnen | email