^	Intro	Taak	Proces	Evaluatie	Conclusie	Bronnen	@

Internationale conflicten

Proces

Logboek

Een onderdeel van het in te leveren werkstuk is een logboek. Daarin noteer je wanneer je wat gedaan hebt. Zo'n logboek kan heel beknopt zijn: geen eindeloze verhalen, maar korte notities zoals "woensdag 29/1: 13.00-14.00 webartikelen over <onderwerp> gelezen; 14.00-15.00: eerste opzet van het hoofdstuk gemaakt". Je moet vooral met de opdracht zelf bezig zijn, en niet met allerlei administratieve rompslomp. Je complete logboek past waarschijnlijk op 1 A4'tje. Maar dat A4'tje moet er dan wél zijn aan het eind! Een logboek bijhouden kost geen tijd, als je het tenminste consequent bijhoudt, en niet 2 dagen later nog moet bedenken wat je eergisteren ook al weer gedaan had.

Deel 1 - Een eerste kennismaking

Tip vooraf: je zult op Engelstalige webpagina's terecht komen, waar wellicht wiskundige vaktaal gebruikt wordt. Als je moeilijke woorden tegenkomt, kijk dan eens naar mijn woordenlijstje, of kijk anders op de Bronnen pagina waar links staan naar woordenboeken voor Engelstalige wiskundetermen.

Deel 1a: Eerlijke grenzen in eenvoudige gevallen

We beginnen even eenvoudig... Hierboven zie je 3 landkaarten staan: op iedere kaar zie je 2 landen, Arithmetistan en Bolen (laten we ze maar A en B noemen, dat praat makkelijker), en een deel van de zee waar ze aan liggen.

• Neem de plaatjes (of iets wat er op lijkt) over, en geef aan waar je de grens in de zee zou trekken, om het water eerlijk te verdelen tussen beide landen. Denk er om dat het er niet perse om gaat dat ieder land evenveel "vierkante centimeters op het plaatje" zee krijgt - die zee is veel groter dan op het plaatje staat, en loopt in principe oneindig lang door 'buiten beeld'. Geef een korte toelichting over het 'waarom' van je grenzen.
• Ga na of de grenzen die je getekend hebt aan het volgende voldoen: ieder punt van de grens ligt even ver van A als van B af. Als je grenzen er niet aan voldoen, neem dan nogmaals dezelfde plaatjes en teken grenzen die er wel aan voldoen. Voor het derde geval: hoe construeer je die grenslijn zo makkelijk mogelijk, en hoe weet je zeker dat alle punten op die lijn even ver van A als van B af liggen? Oftewel: geef een "constructie recept" (kan in een paar woorden) en een bewijs dat dit correct is (wees zorgvuldig - dat heeft wat meer woorden nodig).

In het vervolg zullen we er van uitgaan dat een eerlijke grens om de zee te verdelen een lijn is met punten die even ver van A als van B af liggen.

Deel 1b: Kegelsneden

Zoek om te beginnen in mijn woordenlijstje het begrip 'cone' op, zodat je precies weet wat we hier met een kegel bedoelen.

Een kegelsnede is een figuur die ontstaat als een kegel gesneden wordt door een (plat) vlak. Er zijn drie 'echte' kegelsneden en drie zogenaamde 'ontaarde' kegelsneden.

• Zoek uit welke verschillende (gewone en ontaarde) kegelsneden er bestaan. Maak een schets van alle 6 gevallen (een driedimensionale schets is mooi maar lastig - je kunt in plaats daarvan ook een plat zijaanzicht tekenen, waarin het snijvlak dus te zien is als een rechte lijn). Maak duidelijk onder welke exacte omstandigheden de verschillende kegelsneden ontstaan. M.a.w. hoe moet het vlak t.o.v. de kegel staan om de verschillende figuren te krijgen? Probeer ook uit te leggen waarom de ontaarde kegelsneden 'ontaard' heten.
• Stel je voor dat een vlak een kegel snijdt zodat de snijfiguur een cirkel is. Laat nu in gedachten het vlak draaien, zodat je achtereenvolgens verschillende figuren krijgt. Leg uit dat je 1 van de 3 figuren (welke?) kunt opvatten als het grensgeval tussen de andere twee.
• Zie de 2 plaatjes hieronder. Leg uit welke kegelsnede je op het eerste plaatje op de muur ziet, en waarom. Op het tweede plaatje zie je een zaklamp die de vloer en een deel van de muur belicht. Leg uit hoe je met een zaklamp alledrie de kegelsneden tevoorschijn kunt toveren.

We zullen vanaf nu de ontaarde kegelsneden links laten liggen. Als we het over een kegelsnede hebben, bedoelen we dus een 'echte'.

• Minstens 2 van de 3 soorten kegelsneden ben je al eerder tegen gekomen in de wiskundelessen, maar dan niet als meetkundige objecten (zoals hier) maar als algebra-dingen (met x-en en y's dus). Geef van ieder van de 3 kegelsneden een algebraïsch voorbeeld (mag zo eenvoudig mogelijk zijn), met bijbehorende tekening in een assenstelsel.

In het werkstuk

Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk exact beschreven. Met 'exact' bedoelen we dan: zo nauwkeurig, zonder details over te slaan, dat een klasgenoot die niets van dit onderwerp weet het probleemloos zou kunnen volgen.

Deel 2 - Grenzen, grenzen en nog eens grenzen

In dit deel ga je je vooral bezighouden met zogenaamde conflictlijnen. Dat zijn lijnen zoals je die eerder ook al tegenkwam: eerlijke grenzen tussen 2 gebieden. Je zult je ondertussen misschien afvragen wat die te maken hebben met kegelsneden...

Klik hier om naar dit deel van de opdracht te gaan. Kom daarna hier weer terug.

In het werkstuk

Alles wat je in dit onderdeel gevonden en getekend hebt, komt in het werkstuk. Zorg dat het niet een allegaartje van losse dingetjes wordt. Alles wat je hebt gedaan houdt verschrikkelijk verband met elkaar - het zijn geen losse probleempjes met losse oplossingen - en dat moet in het werkstuk terug te vinden zijn.

Deel 3 - Krom vouwen, en kromme spiegels

Iets heel anders...

• Zoek uit hoe je alledrie de kegelsneden kunt vouwen met papier. Gebruik (uiteraard) de Bronnen pagina. Neem een korte beschrijving van de procedure plus je vouwsels in je werkstuk op.
• Naar aanleiding van het vouwen van een parabool: ga naar http://www.pandd.demon.nl/cabrijava/keverpar.htm
  Je vindt daar een applet die een bepaalde constructie van de parabool demonstreert. Deze constructie is identiek aan de vouwmethode die je net uitgevoerd hebt. Leg exact uit waarom deze methode identiek is aan de definitie "een parabool is de verzameling punten die gelijke afstand hebben tot een richtlijn en een brandpunt" (dit is wat je helemaal in het begin van 2a ontdekt hebt). Hieronder als 'hint' een plaatje plus beschrijving van wat er bij de applet ook in grote lijnen vermeld wordt.

Neem richtlijn r en brandpunt F. P ligt op r en een tweede lijn gaat door P en staat loodrecht op r. P loopt over r (waardoor die 2e lijn meebeweegt natuurlijk). Neem nu de middelloodlijn van PF (dus loodrecht op PF en door het midden S). Die middelloodlijn snijdt P-P1 in P1. Bewijs nu: als P over r loopt, beweegt P1 over een parabool. Kortom: toon aan dat de lengte P-P1 gelijk is aan F-P1 (P-P1 is immers de afstand van P1 tot r...).
Leg uit wat dit met het vouwen van een parabool te maken heeft.

• Beschrijf hoe elliptische en parabolische spiegels werken. Beschrijf van beide spiegels echt-bestaande praktische toepassingen.
• Geef voor alledrie de kegelsneden nog een paar voorbeelden van waar ze in het echt voorkomen.

In het werkstuk

Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk beschreven.

Deel 4 - kritiek

Dit bestaat uit 2 delen:

1. Lees het werkstuk van een klasgenoot (je "partner"). Schrijf een korte maar heldere beoordeling van dit werkstuk. Doe dat zo, dat de ander er ook echt iets aan heeft en er zijn/haar werkstuk mee kan verbeteren. Je kunt bijvoorbeeld aangeven welke stukken je onduidelijk vindt of niet snapt. Deze beoordeling geef je, samen met het werkstuk uiteraard, terug aan je partner.
   Kritiek is altijd opbouwend: de ander heeft er iets aan en je kraakt niet redeloos zomaar iets af. Kritiek kan ook positief zijn: als je iets erg goed vindt, is dat óók interessant voor de ander!
   Let op: het is niet de bedoeling dat je het werkstuk van de ander op wiskundige correctheid controleert. Je hoeft niet al het rekenwerk na te rekenen, enz. Het gaat er om of het werkstuk zo geschreven is, dat je begrijpt waar het over gaat.
2. Laat je partner jouw werkstuk lezen en van kritiek voorzien. Voor zover die kritiek zwakke plekken van jouw werkstuk aan het licht brengt: verwerk de kritiek in je eigen werkstuk voordat je het inlevert.

Denk er om dat dit wat tijd kost: de ander moet je werk lezen en er iets over schrijven, en vervolgens moet jij dat krijgen en er nog iets "intelligents" mee doen (en andersom natuurlijk). Zorg er dus voor dat de ander jouw werk op tijd heeft! Bedenk je ook dat jullie beiden pas je werkstuk kunnen inleveren als je allebei dit onderdeel hebt afgerond (uiteraard). Jullie zijn dus erg op elkaars timing aangewezen!

In het werkstuk

Zowel de kritiek die je voor de ander geschreven hebt, als de kritiek die je van de ander op jouw werkstuk hebt gehad, komen in het werkstuk, als appendix.

Deel 5 - presentatie

Geef een presentatie voor de klas over je werkstuk. De presentatie duurt maximaal 15 minuten. Dat is kort, dus zorg dat je die tijd zinvol gebruikt. Een presentatie is niet hetzelfde als "het werkstuk voorlezen" - integendeel. Het is onmogelijk, en ook zeker niet de bedoeling, dat het hele werkstuk aan bod komt. Neem een interessant gedeelte en ga daar dieper op in. Je kunt bijvoorbeeld één van de grensproblemen nemen, en de klas daar even op laten puzzelen (geef ze een kant en klaar velletje met de situatieschets er op). Dan los je het zelf op, je legt een verband met kegelsneden, etc. Of je doet iets heel anders... Wees creatief.

Tot besluit

Het bovenstaande lezend, kan je de indruk krijgen dat dit werkstuk ontzettend veel werk is. Het is behoorlijk wat werk, ja, maar minder dan het op het eerste gezicht lijkt. Je moet weliswaar op tijd beginnen om alles af te krijgen (dat geldt ook voor de andere opdrachten), maar het is minder rampzalig dan het er uit ziet. Onderdeel 1, 2 en 3 zijn per stuk korter dan je zou denken als je het bovenstaande leest. En als je vastloopt, is er altijd nog de email-knop...

Zorg dat je werkstuk er verzorgd uitziet. Nette hoofdstukindeling, alineaindeling, goed gebruik van kopjes waar nodig, een niet al te grote letter gebruiken, inhoudsopgave, bronvermelding, functioneel gebruik van illustraties, enzovoorts. Zie ook het hoofdstuk Evaluatie voor dingen waar je op moet letten.

Achterin het werkstuk voeg je als appendix toe:

• het logboek, waarin je bijgehouden hebt wanneer je wat hebt gedaan;
• de "kritiek" die je voor het werkstuk van je klasgenoot geschreven hebt.
• de "kritiek" die je klasgenoot voor jouw werkstuk geschreven heeft.

Het werkstuk wordt op tijd ingeleverd. Op het moment dat je het inlevert wordt er een afspraak gemaakt voor de presentatie die je gaat houden.

home| introductie | taak | proces | evaluatie | conclusie | bronnen | email