
^	Intro	Taak	Proces	Evaluatie	Conclusie	Bronnen	@

Internationale conflicten

Deel 2 - Grenzen, grenzen en nog eens grenzen

In dit deel ga je je vooral bezighouden met zogenaamde conflictlijnen. Dat zijn lijnen zoals je die eerder ook al tegenkwam: eerlijke grenzen tussen 2 gebieden. Je zult je ondertussen misschien afvragen wat die te maken hebben met kegelsneden...

Deel 2a: brandpunt en richtlijn

Bekijk eens onderstaand plaatje:

Je ziet weer Arithmetistan dat aan zee grenst, en voor de kust het klein eilandje Bolen. Het probleem is (uiteraard) weer om een eerlijke grens te trekken. Dat het ene land veel kleiner is dan het andere doet er niet toe. In het echt zou Arithmetistan waarschijnlijk gewoon Bolen binnenvallen en onder de voet lopen en was het probleem opgelost. Wiskunde is gelukkig wat vredelievender...

Teken deze situatie in een assenstelsel [-4, 4] x [-2, 4]. Teken de kust van A als de lijn y = -1. Teken land B als het punt (0, 1). Teken nu eerst alle punten die 1, 2, 3, 4, 5, ... centimeter van de kust van A af liggen. Doe hetzelfde voor de punten die 1, 2, 3, ... centimeter van B af liggen. Geef vervolgens de punten aan die even ver van A als van B af liggen (teken eventueel extra lijnen als je die nodig hebt uiteraard), en verbind deze door een vloeiende lijn. Waar lijkt dit op?
Neem een willekeurig punt P(x,y) op de grens. Toon aan dat de afstand van P tot A gelijk is aan y+1, en dat de afstand tot B wortel(x^2 + (1-y)^2). Beide afstanden moeten gelijk zijn, dus stel deze 2 aan elkaar gelijk (hint: links en rechts in het kwadraat doen), en werk haakjes weg, etc., tot er iets staat dat je bekend voorkomt. Wat voor vorm heeft de grens tussen A en B dus?

Laten we voortaan de afstand tot A dA noemen en de afstand tot B dB ('d' van 'distance'). Dan was hierboven dus dB/dA = 1.

Voordat jouw hulp bij het conflict werd ingeroepen, hadden de heren politici van Arithmetistan en Bolen zelf al een plan bedacht. Omdat Bolen zo ontzettend veel kleiner is dan Arithmetistan, leek het iedereen niet onredelijk als Arithmetistan wat meer aanspraak op de zee had dan Bolen. Er werd daarom besloten om als grens niet alle punten te nemen die even ver van Arithmetistan als van Bolen af liggen (zoals je net gedaan hebt), maar om alle punten te nemen die anderhalf keer zo ver van Arithmetistan als van Bolen af liggen. Dus een punt dat 6 km van Arithmetistan afligt en 4 km van Bolen, is nu een punt van de grens. Met onze net ingevoerde notatie, wordt de grens dus alle punten met dB/dA = 2/3.

Met heel veel gepruts lukte het om die grens te tekenen - waarna er een golf van verontwaardiging door Bolen ging. Dát ging zomaar niet! Dat pikten ze niet!

Zoek uit waarom de inwoners van Bolen zo verontwaardigd waren. Om je wat vervelend en lastig tekenwerk te besparen, kun je hier een kant en klaar plaatje vinden dat je kunt uitprinten en gebruiken. Met de hand tekenen mag natuurlijk ook.

Een paar jaar na het voorgaande voorstel was Arithmetistan ernstig verarmd, terwijl Bolen was opgebloeid tot een rijke en welvarende staat. Echter, het conflict tussen de twee was nog steeds niet opgelost. Tijdens nieuwe onderhandelingen stelde Bolen voor om het vorige voorstel om te draaien (dat konden ze zich nu permitteren - Arithmetistan had nauwelijks nog macht, terwijl Bolen een hyper-moderne verdedigingsmacht had opgebouwd). Met andere woorden: alle punten die anderhalf keer zo ver van Bolen als van Arithmetistan liggen, horen nu tot de grens die de zee verdeelt. Oftewel: de grens wordt alle punten met dB/dA = 3/2.

Onderzoek ook dit voorstel. Bekijk alledrie de oplossingen die je nu uitgezocht hebt, en leg een verband met de kegelsneden. Hoe bepaalt de verhouding dB/dA welke kegelsnede je krijgt?

De lijn die de kust van Arithmetistan vormt, heet in de wiskunde de richtlijn (directrix), en het punt Bolen is het brandpunt (focus). De verhouding dB/dA heet de excentriciteit (eccentricity) van de kegelsnede.

Controleer je vorige resultaat en conclusie met informatie die je over het begrip excentriciteit op het web kunt vinden. Hint: op de Bronnenpagina wordt een goede Nederlandse site genoemd. Formuleer het een en ander als een stelling. Leg uit dat je (alweer) één van de kegelsneden (welke?) kunt opvatten als het grensgeval tussen beide anderen.

In het werkstuk

Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk weer exact beschreven. Met plaatjes uiteraard...

Deel 2b: Maar wat nu als...

Uiteraard kostte het je geen enkele moeite het conflict tussen Arithmetistan en Bolen op te lossen. Er is maar één eerlijke verdeling, ongeacht welvaart of status, en dat is dat iedereen evenveel krijgt. De allereerste oplossing, waar dA = dB, is natuurlijk wat je hebt voorgesteld, en waar alle bewoners ook mee konden leven.

Je roem is voor je uit gesneld, en je bent nog niet thuis gekomen of de telefoon gaat. Twee schatrijke vrienden, Conicus en Directrix, hebben een soortgelijk vraagstuk. Omdat je het jarenlange conflict tussen Arithmetistan en Bolen tot een goed einde hebt weten te brengen, wordt jouw hulp weer ingeroepen.

Het probleem is het volgende. Beide heren zitten samen in de olie-handel en willen een boorplatform in zee bouwen. Ze bezitten beide een eiland (waar ze ook wonen) en het platform moet 'ergens in de buurt komen'. De eilandjes liggen 11 kilometer bij elkaar vandaan. Omdat ze allebei niet zo gek op varen zijn, moet het platform niet te ver weg liggen. Na lang overleg hebben ze besloten dat de reisafstand van beiden samen precies 19 kilometer moet zijn (oftewel dC + dD = 19). Het maakt ze dan niet zoveel uit of C 7 km moet varen en D 12 km, of wat-dan-ook, als het allemaal bij elkaar maar 19 km is. Ze hebben alleen geen idee wat nou de mogelijke locaties voor dat platform zijn...

Zoek voor de heren uit op welke plekken hun boorplatform kan komen te liggen. Print bijvoorbeeld deze pagina uit om je tekenwerk te besparen.

De regering van Arithmetica, dat heerst over dit ondiepe stuk zee, besluit twee vaargeulen te graven. Die vaargeulen blijken een merkwaardige eigenschap te hebben: als je 1 kilometer dichter bij C komt, kom je ook 1 kilometer dichter bij D. Dat betekent dus dat dD - dC constant is (toch?)... Bij de ene geul is het verschil dD - dC altijd precies 9 kilometer, en bij de andere geul is het andersom: dC - dD = 9 kilometer. Aangezien het boorplatform regelmatig door grote tankers bezocht moet worden, is het wel zaak dat het gebouwd wordt naast één van de nieuwe vaargeulen.

Teken beide vaargeulen. Tegelijkertijd rekening houdend met de wens van de heren uit het vorige onderdeel: bepaal op welke plekken het boorplatform kan worden gebouwd.
Welke kegelsneden spelen een rol bij deze twee vraagstukken? Leg uit hoe je eenvoudig zelf een ellips kunt construeren (gebruik b.v. de MathWorld website) en leg het verband met het voorgaande.

Moe van al je gepuzzel, maar wel een flinke duit rijker (de heren waren erg blij met je hulp), hoop je nu een welverdiende vakantie te kunnen gaan houden. Je boekt een reis naar het verre eiland Focus, maar je bent er nog niet aangekomen of...

Helaas, helaas, dat wordt weer geen vrije tijd. Focus heeft ruzie met Excentria... Net als eerder gaat het om het eerlijk verdelen van de zee. Jouw hulp wordt uiteraard weer ingeroepen. Je probeert je er makkelijk van af te maken, en zegt dat ze gewoon een grens moeten trekken door alle punten die even ver van het ene als van het andere land af liggen. De geografische situatie is echter wat lastiger dan normaal...

Zoals je ziet ligt Focus in een binnenzee die geheel door Excentria omringd wordt. Je eerdere oplossingen (die ook in Excentria en Focus alom bekend en bejubeld zijn) zijn hier dus niet zomaar van toepassing.

Los het probleem van Excentria en Focus vlug op, zodat je snel aan je vakantie kunt beginnen!
Hint: deze pagina kan je weer gebruiken om je tekenwerk uit handen te nemen. Laat de bovenste dikke punt F zijn, en neem de grootste cirkel onderaan de pagina als kust van E.
Bewijs dat deze grens een ellips is. Let daartoe op de ligging van F en het middelpunt van de zee ten opzichte van de grens, en gebruik wat je gedaan hebt toen je de mogelijke liggingen van het boorplatform moest bepalen.

We nemen dit alles nog één (lastige) stap verder.

Laat in gedachten de binnenzee alsmaar groter en groter worden (terwijl F wel in de buurt van de kust van E blijft liggen). Als die zee oneindig groot is, wat is dan de vorm van de kustlijn van E? En hoe ziet dan dus de grens tussen E en F er uit?
Zie het plaatje hieronder: E is nu een eiland met echte afmetingen (dus niet langer een wiskundige punt). F mag je nog steeds als punt zien, of als een eilandje dat kleiner is dan E, dat doet er niet toe.
Stel je nu voor dat E steeds groter en groter wordt (net als de binnenzee daarnet). Hoe zal de kust van E er uiteindelijk uit gaan zien? Je kunt dit idee, en het vorige, van de groeiende binnenzee, in gedachten aan elkaar knopen: de binnenzee wordt steeds groter, tot hij oneindig groot is, en dan begint E te krimpen, tot het het eiland in onderstaand plaatje is. Probeer dit duidelijk voor je te zien!

Je hebt al eerder ontdekt dat er één kegelsnede is die je kan opvatten als de "grens" tussen de twee andere. Hou dat in gedachten. Als je nu dat hele verhaal overziet van die groeiende binnenzee, en E dat krimpt tot een eiland: welke vorm zal dan de grens tussen E en F in bovenstaand plaatje hebben?

Maak van dit onderdeel (de bovenstaande 2 'bolletjes') één samenhangend verhaal en niet een losse verzameling "antwoorden op deelvraagjes". Probeer het grote geheel te overzien en te begrijpen wat er gebeurt, wat het systeem is, en wat er met de grens tussen E en F gebeurt gedurende dit hele "veranderingsproces". Dát is wat je moet beschrijven.

In het werkstuk

Alles wat je hierboven gevonden en getekend hebt, komt in het werkstuk. Zorg dat het niet een allegaartje van losse dingetjes wordt. Alles wat je hebt gedaan houdt verschrikkelijk verband met elkaar - het zijn geen losse probleempjes met losse oplossingen - en dat moet in het werkstuk terug te vinden zijn.

Ga nu terug naar de Proces hoofdpagina.