
^	Intro	Taak	Proces	Evaluatie	Conclusie	Bronnen	@

Driehoeken, piramides, en een merkwaardige zeef

Deel 2 - Driehoeken en piramides

In de inleiding ontdekte je dat je 3 mandarijnen in een driehoek kunt leggen, en 6 ook... En je kon ze stapelen...

Zoek uit wat driehoeksgetallen zijn (Engels: triangular numbers), en leg dat uit m.b.v. een tekening. Geef de eerste 10 driehoeksgetallen. Doe precies hetzelfde voor piramidegetallen (zie opmerking hieronder).

Terzijde: de naam 'piramidegetallen' is eigenlijk niet correct. We hebben het hier over een speciaal soort piramides, namelijk met een driehoekig grondvlak. In het Engels heten deze getallen tetrahedral numbers, naar het tetrahedron, of regelmatige viervlak (een piramide met 4 gelijkzijdige driehoeken als grond- en zijvlakken). Een 'piramide' is algemener, en kan ook een vierkant, vijfhoekig, ... grondvlak hebben, en de term 'piramidegetallen' verwijst eigenlijk naar die hele klasse getallen (stapel mandarijnen in een vierkant, leg daar een kleiner vierkant bovenop, enz, en idem met een vijfhoek, zeshoek...). Misschien had ik de piramidegetallen "tetrahedrale getallen" moeten noemen, maar dat is zo'n rare mondvol. Als we het over piramidegetallen hebben, bedoelen we dus steeds "driehoekige piramide".

We voeren de volgende notatie in: D(n) is het n-de driehoeksgetal, met D(1) = 1, en P(n) is het n-de piramidegetal met P(1) = 1.

Driehoeksformules. Geef 2 formules. De eerste drukt D(n) uit in (o.a.) D(n-1). M.a.w.: als je b.v. het 13e driehoeksgetal weet, hoe kan je dan het 14e driehoeksgetal bepalen? De andere formule geeft een directe manier om D(n) te berekenen. M.a.w. je hoeft nu niet eerst de 13e te weten om de 14e uit te kunnen rekenen - of nog anders gezegd, D(n) wordt nu rechtstreeks in n uitgedrukt en niet in D(n-1).
Zorg dat je ook echt aantoont dat beide formules correct zijn (wat voor de eerste erg simpel is). Gewoon die formules opschrijven en een paar keer controleren dat het werkt, is dus niet voldoende. Het moet echt waterdicht bewezen zijn voor alle mogelijke waarden van n.

Piramideformules. Geef ook 2 formules voor P(n). De eerste drukt P(n) uit in D(n), D(n-1) en wat je verder nog meer nodig hebt (kortom, een piramidegetal wordt uitgedrukt in uitsluitend driehoeksgetallen). De tweede drukt P(n) uit in P(n-1) en D(n). Geef een overtuigend argument (heel kort) waarom deze formules correct zijn (m.a.w. gewoon de formules opschrijven en het de lezer maar laten uitzoeken, is niet goed).

Maar... deze webquest ging toch over de driehoek van Pascal? Jawel...

Onderzoek waar in de driehoek van Pascal de driehoeksgetallen en piramidegetallen voorkomen. Laat dat ook daadwerkelijk zien, met een tekening.
Bewijs dat de reeksen die je in de driehoek van Pascal gevonden hebt ook daadwerkelijk de driehoeks- en piramidegetallen zijn. Met andere woorden: hoe weet je zeker dat het op de 19734-ste rij van de driehoek niet fout gaat?
Hint: je moet hier dus een verband leggen tussen hoe de driehoeksgetallen geconstrueerd worden (gebruik daar wellicht 1 van je D(n) formules voor), en hoe diezelfde getallen in de driehoek van Pascal 'geconstrueerd' worden. Idem voor de piramidegetallen - maar begin met de driehoeksgetallen. Dit moet dus een echt hard bewijs zijn van wat je hiervoor geobserveerd hebt - of in ieder geval een argument dat zo overtuigend is, dat iedereen na lezing snapt dat dit "altijd goed blijft gaan".

De lijst merkwaardige getallen en reeksen die je in de driehoek van Pascal kunt vinden is haast eindeloos. Net zo zijn er talloze praktische toepassingen van de driehoek. We bekijken één van de belangrijkste.

Zoek op het web op hoe de driehoek van Pascal gebruikt kan worden als je haakjes moet wegwerken in uitdrukkingen als (x+1)^n ('^' = tot de macht), of (wat op hetzelfde neerkomt) (a+b)^n. Demonstreer dit gebruik aan de hand van een concreet voorbeeld - werk m.b.v. de driehoek van Pascal bijvoorbeeld de haakjes weg van (x+1)^6 o.i.d. Een bewijs of uitleg van het waarom is niet nodig. Zorg gewoon dat je duidelijk uitlegt hoe dit werkt. Bedenk je overigens dat dit verschrikkelijk handig is: als je met de hand de haakjes moet wegwerken in een uitdrukking als (x+1)(x+1)(x+1)(x+1) ((x+1)-tot-de-vierde dus), dan ben je wel even zoet...

In het werkstuk

Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk exact beschreven. Met 'exact' bedoelen we dan: zo nauwkeurig, zonder details over te slaan, dat een klasgenoot die niets van dit onderwerp weet het probleemloos zou kunnen volgen. Ook al zijn het een hoop deelopdrachten, toch kan dit hele gedeelte relatief kort behandeld worden. De definitie en formules voor driehoeks- en piramidegetallen (de eerste 3 puntjes van dit onderdeel) past bijvoorbeeld met gemak op 1 kantje. De laatste 3 puntjes kunnen ook op 1, of (met tekeningen erbij) maximaal 2 kantjes. Verlies je niet in allerlei onzinnige details, maar wees "to the point".

Ga nu terug naar de Proces hoofdpagina