
^	Intro	Taak	Proces	Evaluatie	Conclusie	Bronnen	@

Driehoeken, piramides, en een merkwaardige zeef

Deel 3 - Even getallen en de zeef van Sierpinski

Voor het volgende moet je her en der stukken van de driehoek van Pascal inkleuren. Om dat eenvoudiger te maken staan er op de Bronnen pagina onder het kopje 'Materialen' 2 links naar pagina's die een kant en klare driehoek bevatten, de ene met getallen er al in, de andere zonder getallen. Je kunt die pagina's bijvoorbeeld uitprinten en gebruiken. Scheelt een hoop tekenwerk...

We gaan in dit deel iets heel anders doen: we kijken naar veelvouden van bepaalde getallen in de driehoek van Pascal. De exacte waarden van getallen doen er dus niet zo toe - we kijken alleen naar of een getal deelbaar is door twee (de even getallen dus) of alle drievouden, enzovoorts. Het blijkt dat daar van alles mee aan de hand is.

Neem een stuk van de driehoek van Pascal (bijvoorbeeld deze) en kleur alle oneven getallen zwart (zodat de even getallen overblijven). Probeer voor jezelf onder woorden te brengen wat je ziet ontstaan. Ga vervolgens naar één van de sites die een applet hebben waarmee je ditzelfde kleurwerk wat sneller en uitgebreider kunt doen (op de Bronnen pagina). Bij die applets kan je zelf de "divisor" (deler) instellen. Vul daar '2' in. Probeer nu zo nauwkeurig mogelijk te formuleren hoe het patroon in elkaar zit. Met andere woorden: kan je uitleggen hoe het patroon verder gaat als je steeds meer en meer rijen van de driehoek zou gebruiken?
Maak ook eens (met de hand en niet met een applet) een 'kleurplaat' waar je alleen de drievouden overhoudt (dus alle niet-drievouden inkleuren). En doe dat nog eens met alle zesvouden. Je hebt nu 3 kleurplaten waar respectievelijk de 2-vouden, 3-vouden en 6-vouden nog wit zijn. Onderzoek hoe je met de eerste twee kleurplaten de derde zou kunnen maken: wat is het verband/recept?
Gebruik dezelfde applet om eens te onderzoeken wat er gebeurt als je kijkt naar drievouden in plaats van tweevouden (voor "divisor" dus 3 invullen). En viervouden, vijfvouden? Experimenteer er eens op los. Het zal je opvallen dat sommige getallen erg regelmatige patronen geven, terwijl anderen een veel rommeliger plaatje geven. Zoek uit welke getallen de regelmatigste patronen geven (probeer in ieder geval alle getallen van 2 tot 20). Kan je ontdekken wat voor soort getallen dat zijn - wat hebben ze gemeenschappelijk, of wat is hun karakteristieke eigenschap? Kan je, met behulp van je onderzoek naar de 2, 3 en 6-vouden, uitleggen waarom sommige getallen een 'rommeliger' plaatje geven dan anderen?

Het patroon dat je vond bij de tweevouden lijkt sterk op een in de wiskunde bekende fractal die de 'zeef van Sierpinski' heet. Trouwens: een fractal is een figuur die zelfgelijkvormig is. Dat wil zeggen: als je er een deel van neemt, dan is dat deel identiek (!) aan het geheel. Zie ook mijn woordenlijstje.

Zoek uit wat de zeef van Sierpinski is: geef het "recept" waarmee je deze figuur kan maken (in theorie dan, want de 'echte' zeef is het eindresultaat van oneindig vaak hetzelfde proces herhalen - dat kan je dus nooit in het echt doen).

Terzijde: besef je dat het patroon van tweevouden in de driehoek van Pascal en de zeef van Sierpinski niet helemaal identiek zijn. Bij Pascal groeit het patroon als het ware "van klein naar groot": je begint op de 1e rij, en laat de driehoek (en dus het patroon) steeds groter worden. Bij Sierpinski gaat het andersom: je begint met een driehoek en haalt steeds iets weg - je gaat dus van groot naar klein. Als je beide processen oneindig lang zou volhouden (en de dan oneindig grote driehoek van Pascal tot fatsoenlijke afmetingen zou terugbrengen), dan zouden beide wél identiek zijn.

Tot besluit maken we nog een kort uitstapje naar een heel ander gebied van de wiskunde, dat van de cellulaire automaten (een onderwerp waar je jaren mee zoet zou kunnen zijn...). Download de 'cellauto' spreadsheet en bijbehorende documentatie van de Bronnen pagina (onder het kopje 'Materialen'). Open de spreadsheet in Excel en lees de Word-documentatie. Zorg dat je het e.e.a. begrijpt.

Bekijk de volgende cellulaire automaten: nummer 90, 82, 26 en 18. Wat is het verband met het voorgaande? N.B.: je hoeft in je werkstuk niet uit te leggen hoe een dergelijke cellulaire automaat werkt. Als je volledig wilt zijn, kun je de lezer bijvoorbeeld verwijzen naar http://mathworld.wolfram.com/ElementaryCellularAutomaton.html.
Probeer uit te leggen waarom alle vier de automaten hetzelfde resultaat opleveren.
Hint: kijk goed naar welke "overlevingsregels" gebruikt worden bij de verschillende automaten. Maak hier niet teveel "gedoe" van - een kort intuïtief idee is genoeg; je hoeft niet met een compleet bewijs te komen.
Tot besluit: kijk nog eens naar automaat 90. Leg uit waarom deze hetzelfde patroon oplevert als de even/oneven kleuring in de driehoek van Pascal.
Hint: Noem een zwarte cel "oneven" en een witte "even". Wat zijn de optelregels voor "oneven plus even", "oneven plus oneven", enz.? Bedenk bovendien dat er in de driehoek van Pascal altijd "schuin" opgeteld wordt - linksboven en rechtsboven samen geeft het nieuwe getal. Toegepast op de overlevingsregels van automaat 18 betekent dit dat je alleen naar de buurcellen hoeft te kijken (die immers links- en rechtsboven liggen als je de volgende generatie aan het bepalen bent). Knoop het e.e.a. aan elkaar tot een samenhangend verhaal.

In het werkstuk

Alles wat je hier hebt uitgezocht, inclusief tekeningen, enz., komt in het werkstuk. Dat is heel wat, waarschijnlijk.

Ga nu terug naar de Proces hoofdpagina.