
^	Intro	Taak	Proces	Evaluatie	Conclusie	Bronnen	@

Zonnebloemetjes en bijtjes

Proces

Logboek

Een onderdeel van het in te leveren werkstuk is een logboek. Daarin noteer je wanneer je wat gedaan hebt. Zo'n logboek kan heel beknopt zijn: geen eindeloze verhalen, maar korte notities zoals "woensdag 29/1: 13.00-14.00 webartikelen over <onderwerp> gelezen; 14.00-15.00: eerste opzet van het hoofdstuk gemaakt". Je moet vooral met de opdracht zelf bezig zijn, en niet met allerlei administratieve rompslomp. Je complete logboek past waarschijnlijk op 1 A4'tje. Maar dat A4'tje moet er dan wél zijn aan het eind! Een logboek bijhouden kost geen tijd, als je het tenminste consequent bijhoudt, en niet 2 dagen later nog moet bedenken wat je eergisteren ook al weer gedaan had.

Deel 1 - Fibonacci's reeks

Tip vooraf: je zult op Engelstalige webpagina's terecht komen, waar wellicht wiskundige vaktaal gebruikt wordt. Als je moeilijke woorden tegenkomt, kijk dan eens naar mijn woordenlijstje, of kijk anders op de Bronnen pagina waar links staan naar woordenboeken voor Engelstalige wiskundetermen.

Deel 1a: Inleiding

In de Intro heb je wat gelezen over de voorouders van een dar (mannetjesbij). Naar aanleiding van dat verhaaltje:

Zoek op het web op wat de reeks van Fibonacci is: beschrijf exact hoe deze reeks in elkaar zit (geef dus een "rekenrecept"). Geef een tabel met minstens de eerste 20 termen van de reeks.
Zoek uit hoeveel ouders, grootouders, overgrootouders... een dar heeft. Doe dat voor een voldoende aantal generaties voorouders. Leg een verband met het voorgaande.
Probeer te verklaren (of: bewijzen) waarom het aantal voorouders van een dar deze reeks volgt (niet eenvoudig). Dat hoeft niet te lukken - als je maar laat zien wat je geprobeerd hebt. Het gaat meer om het zoeken dan om het vinden.

Deel 1b: Puzzelen

Afspraak: we zullen het voortaan over F(n) hebben als we het n-de Fibonacci getal bedoelen. We beginnen bij 0 te nummeren, en laten de reeks met 1,1,2,... beginnen (sommigen beginnen met 0,1,1,2,... maar dat doen we dus niet). Dus F(0) = F(1) = 1, F(2) = 2, enzovoorts.

Ga naar http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibpuzzles.html#bricks. Je vindt daar een puzzel over het bouwen van een muurtje van 2 eenheden hoog. Beschrijf deze puzzel precies, en leg nauwkeurig uit (dus eigenlijk: bewijs) waarom de reeks van Fibonacci hier het antwoord is. Het antwoord staat ook op deze website (dat is makkelijk), maar vertel het zo duidelijk mogelijk in je eigen woorden (en zorg dat je het goed snapt).
Zoek uit wat het oorspronkelijke probleem was dat Fibonacci tot de ontdekking van deze reeks bracht. Beschrijf het probleem, en laat zien dat de reeks van Fibonacci hier inderdaad een rol speelt. Probeer (weer) te bewijzen/beargumenteren waarom dit zo is (lastiger dan de vorige). Als je hier niet uit komt, is dat geen ramp, zolang je maar laat zien wat je gedaan/geprobeerd hebt.
Nog even over die dar: als je er bij het derde punt van deel 1a niet uitgekomen bent, probeer het nu dan nog eens. Misschien lukt het nu wel.

In het werkstuk

Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk exact beschreven. Met 'exact' bedoelen we dan: zo nauwkeurig, zonder details over te slaan, dat een klasgenoot die niets van dit onderwerp weet het probleemloos zou kunnen volgen. Zorg dat het e.e.a. een lopend verhaal wordt. Geen opsomming van feitjes, en geen "lijstje antwoorden op vragen" dus. De hierboven aangehouden volgorde is bedoeld om je richting te geven bij je onderzoek. Dat wil niet zeggen dat het ook de beste volgorde is om dingen in je werkstuk te presenteren. Wees creatief en gebruik je verstand.

Deel 2: Zonnebloemen

Ga naar de Bronnen pagina, en download daar onder 'Materialen' de Fibonacci spreadsheet. Als je geen Excel hebt is dat geen ramp en kun je het volgende "met de hand" doen. Excel-gebruik verdient echter de voorkeur. Start Excel en open de spreadsheet.

Je ziet 3 kolommen: n, F(n) en F(n+1)/F(n). Bestudeer de formules die in de diverse kolommen staan en zorg dat je snapt wat ze doen. Vul de ontbrekende cellen in (t/m n=20), zodat overal wat staat. Beschrijf wat er gebeurt in de kolom F(n+1)/F(n). Laat Excel hier een lijndiagram van tekenen: (n op de horizontale as en de F(n+1)/F(n) op de verticale as). Neem de grafiek in je werkstuk op. Probeer zo nauwkeurig mogelijk te bepalen wat er op de lange termijn gebeurt (dus voorbij n=20).
Leg de volgende bewering uit: op de lange termijn groeit de reeks van Fibonacci nagenoeg exponentieel. Geef de bijbehorende exponentiële groeiformule. Neem F(10) als begingetal.
Maak eens een "Fibonacci-achtige" reeks: hetzelfde "bouw"-recept, alleen begin je nu met 2 andere getallen dan 1 en 1 voor F(0) en F(1). Doe dit een paar keer en beschrijf het effect van de begingetallen op de kolom met F(n+1)/F(n).

Je bent al web-surfend misschien al de zonnebloem tegengekomen. Als een zonnebloem zaadjes laat groeien, dan doet hij dat zó dat het oppervlak van het bloemenhart zo goed mogelijk gebruikt wordt. M.a.w.: zo min mogelijk lege plekken, en voor ieder zaadje zoveel mogelijk ruimte.

Download van de Bronnen pagina (in de Materiaal sectie) de spreadsheet "zonnebloem". Onderzoek hiermee wat er gebeurt als een zonnebloem, vanuit het midden beginnend, ieder volgend zaadje b.v. over 180 graden (dus een fractie 0.5 van de 360 graden) gedraaid zou laten groeien. Leg duidelijk uit waarom het gebruik van breuken (1/5 * 360, of 3/11 * 360) geen goede tactiek voor de zonnebloem is. Let op: je uitleg moet betrekking hebben op alle breuken en dus niet op een paar concrete gevallen.
Gebruik nu de verhouding die je hiervoor vond (F(n+1)/F(n) voor grote n). Kijk wat er gebeurt en trek conclusies. Tel hoeveel spiralen er linksom lopen en hoeveel er rechtsom lopen (pagina printen - dat is makkelijker tellen). Waar is Fibonacci? Van dit en het vorige onderdeel neem je uiteraard plaatjes op in je werkstuk.

In het werkstuk

Deel 3 - Nogmaals Fibonacci

Er is allerlei interessants aan de reeks van Fibonacci te ontdekken, en hij komt op allerlei plaatsen voor (in de natuur, in mensenwerk, in puzzels, enzovoorts). Dit onderdeel is heel vrij: schrijf een stuk over deze reeks, en vertel daarin over iets wat jij interessant of opmerkelijk vindt. Geef voorbeelden indien dat relevant is en gebruik illustraties om het e.e.a. toe te lichten of voor de lezer duidelijk te maken. Daarvoor moet je dus op onderzoek: kijk wat er allemaal te beleven is aan deze reeks. Wat kan jij daarmee? Wat vind je interessant?

Maak je hier niet te makkelijk van af. Geen lijstje met kant-en-klaar gekopieerde dingen, of een opsomming van "interessantigheden". Probeer in eigen woorden iets te schrijven dat in de schoolkrant gepubliceerd zou kunnen worden en waardoor een onwetende schoolgenoot geïnteresseerd en/of enthousiast zou raken.

In het werkstuk

Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk beschreven.

Deel 4 - afsluiting

Als al het denk- en schrijfwerk achter de rug is, voeg je de verschillende stukken samen tot één werkstuk. Zorg dat het geheel er verzorgd uitziet. Nette hoofdstukindeling, alineaindeling, goed gebruik van kopjes waar nodig, een niet al te grote letter gebruiken, inhoudsopgave, bronvermelding, functioneel gebruik van illustraties, enzovoorts. Zie ook het hoofdstuk 'Evaluatie' voor dingen waar je op moet letten.

Achterin het werkstuk voeg je als appendix toe:

Het logboek, waarin je bijgehouden hebt wanneer je wat hebt gedaan.

Het werkstuk wordt op tijd ingeleverd.