
^	Intro	Taak	Proces	Evaluatie	Conclusie	Bronnen	@

Driehoeken en piramides

Deel 3 - Even getallen en de zeef van Sierpinski

Voor het volgende moet je her en der stukken van de driehoek van Pascal inkleuren. Om dat eenvoudiger te maken staan er op de Bronnen pagina onder het kopje 'Materialen' 2 links naar pagina's die een kant en klare driehoek bevatten, de ene met getallen er al in, de andere zonder getallen. Je kunt die pagina's bijvoorbeeld uitprinten en gebruiken. Scheelt een hoop tekenwerk...

We gaan in dit deel iets heel anders doen: we kijken naar veelvouden van bepaalde getallen in de driehoek van Pascal. De exacte waarden van getallen doen er dus niet zo toe - we kijken alleen naar of een getal deelbaar is door twee (de even getallen dus) of alle drievouden, enzovoorts. Het blijkt dat daar van alles mee aan de hand is.

Neem een stuk van de driehoek van Pascal (bijvoorbeeld deze) en kleur alle oneven getallen zwart (zodat de even getallen overblijven). Probeer voor jezelf onder woorden te brengen wat je ziet ontstaan. Ga vervolgens naar één van de sites die een applet hebben waarmee je ditzelfde kleurwerk wat sneller en uitgebreider kunt doen (op de Bronnen pagina). Bij die applets kan je zelf de "divisor" (deler) instellen. Vul daar '2' in. Probeer nu zo nauwkeurig mogelijk te formuleren hoe het patroon in elkaar zit. Met andere woorden: kan je uitleggen hoe het patroon verder gaat als je steeds meer en meer rijen van de driehoek zou gebruiken?
Maak ook eens (met de hand en niet met een applet) een 'kleurplaat' waar je alleen de drievouden overhoudt (dus alle niet-drievouden inkleuren). En doe dat nog eens met alle zesvouden. Je hebt nu 3 kleurplaten waar respectievelijk de 2-vouden, 3-vouden en 6-vouden nog wit zijn. Onderzoek hoe je met de eerste twee kleurplaten de derde zou kunnen maken: wat is het verband/recept?
Gebruik dezelfde applet om eens te onderzoeken wat er gebeurt als je kijkt naar drievouden in plaats van tweevouden (voor "divisor" dus 3 invullen). En viervouden, vijfvouden? Experimenteer er eens op los. Het zal je opvallen dat sommige getallen erg regelmatige patronen geven, terwijl anderen een veel rommeliger plaatje geven. Zoek uit welke getallen de regelmatigste patronen geven (probeer in ieder geval alle getallen van 2 tot 20). Kan je ontdekken wat voor soort getallen dat zijn - wat hebben ze gemeenschappelijk, of wat is hun karakteristieke eigenschap? Kan je, met behulp van je onderzoek naar de 2, 3 en 6-vouden, uitleggen waarom sommige getallen een 'rommeliger' plaatje geven dan anderen? Vraag mij om hulp indien je dat nodig hebt.

Het patroon dat je vond bij de tweevouden lijkt sterk op een in de wiskunde bekende fractal die de 'zeef van Sierpinski' heet. Trouwens: een fractal is een figuur die zelfgelijkvormig is. Dat wil zeggen: als je er een deel van neemt, dan is dat deel identiek (!) aan het geheel. Zie ook mijn woordenlijstje.

Zoek uit wat de zeef van Sierpinski is: geef het "recept" waarmee je deze figuur kan maken (in theorie dan, want de 'echte' zeef is het eindresultaat van oneindig vaak hetzelfde proces herhalen - dat kan je dus nooit in het echt doen).

Terzijde: besef je dat het patroon van tweevouden in de driehoek van Pascal en de zeef van Sierpinski niet helemaal identiek zijn. Bij Pascal groeit het patroon als het ware "van klein naar groot": je begint op de 1e rij, en laat de driehoek (en dus het patroon) steeds groter worden. Bij Sierpinski gaat het andersom: je begint met een driehoek en haalt steeds iets weg - je gaat dus van groot naar klein. Als je beide processen oneindig lang zou volhouden (en de dan oneindig grote driehoek van Pascal tot fatsoenlijke afmetingen zou terugbrengen), dan zouden beide wél identiek zijn.

In het werkstuk

Alles wat je hier hebt uitgezocht, inclusief tekeningen, enz., komt in het werkstuk. Dat is heel wat, waarschijnlijk. Het moeilijkste zal zijn om er een samenhangend verhaal van te maken. Probeer vooral om er geen los rijtje "feitjes en antwoorden" van te maken, maar een lopend verhaal met een kop en een staart.

Ga nu terug naar de Proces hoofdpagina.