
^	Introductie	Taak	Proces	Evaluatie	Conclusie	Bronnen	@

Pythagoras en de stelling van

Proces deel 1

Het eerste bewijs

Zie de figuur hieronder. Gegeven: de rode driehoeken zijn rechthoekige driehoeken.

Doe achtereenvolgens het volgende:

Bewijs dat de hele figuur een vierkant is (zijden gelijk en hoeken 90 graden). Deze is flauw.
Bewijs dat de gele vierhoek een vierkant is.
Wat is de lengte van een zijde van de hele figuur, uitgedrukt in a en b?
Wat is dus de oppervlakte van de hele figuur, uitgedrukt in a en b? (haakjes wegwerken)
Wat is de oppervlakte van de gele figuur, uitgedrukt in c?
Wat is de oppervlakte van de 4 rode driehoeken samen, uitgedrukt in a en b?
Gebruik 5 en 6 om een alternatieve uitdrukking voor de oppervlakte van de hele figuur te krijgen.
Gebruik 4 en 7 om de stelling van Pythagoras te krijgen (dat is nu eenvoudig geworden).

Ga na dat het enige echte "bewijs" in stap 1 en 2 zit. Ga ook na dat die niet overgeslagen kunnen worden!

Zo, dat viel wel mee, nietwaar? Dan nu de volgende, met wat minder hulp, maar een soortgelijke aanpak.

Het tweede bewijs

Hieronder zien jullie twee plaatjes uit een korte animatie die een bewijs van de stelling van Pythagoras laat zien. Bekijk ook de hele animatie door hier te klikken.

Het is duidelijk te zien dat hier een driehoek met zijden 3, 4 en 5 is gebruikt (klopt dat met de stelling van Pythagoras?). Als je dat eenmaal ziet, is het ook niet moeilijk na te gaan dat je bovenstaande "legpuzzel" zelf zou kunnen maken, en inderdaad in de twee getoonde configuraties kunt leggen.

Nou en? Bewijst dat dan iets? Ja: hier wordt de stelling van Pythagoras op een zuiver meetkundige manier bewezen! Zoek (precies!) uit waarom dit een bewijs is. Begin maar met die 3-4-5 driehoek. Hint: let op waar in de tweede figuur de y-as door de figuur heen loopt.

Om jezelf op weg te helpen is het goed om te zien dat dit met alle rechthoekige driehoeken goed gaat. Neem een vel papier en knip 4 identieke rechthoekige driehoeken uit (met andere afmetingen dan hierboven getoond). Knip ook het bijbehorende grijze vierkantje uit (zelf uitzoeken hoe je dat doet). Kan je nou zowel het linker als het rechter plaatje nabouwen? Hoe weet je 100% zeker dat er niet ergens toch een stukje ontbreekt? Waarom zit er geen "kier" ergens inde figuur (afgezien van het feit dat je onnauwkeurig geknipt kan hebben, maar dat telt natuurlijk niet). Wat word je daar wijzer van? Wees niet bang om letters (variabelen dus) te gebruiken: noem de zijden a, b en c, en sla aan het puzzelen. Wat zijn de diverse oppervlakken, uitgedrukt in a, b, en c? Enzovoorts.

In het werkstuk

Bovenstaand bewijs wordt in het werkstuk exact beschreven. Met 'exact' bedoelen we dan: zo nauwkeurig, zonder details over te slaan, dat een klasgenoot die niets van dit onderwerp weet het probleemloos zou kunnen volgen.

Ga, als jullie klaar zijn, weer terug naar de Proces-pagina.