^	Introductie	Taak	Proces	Evaluatie	Conclusie	Bronnen	@

Een nieuw badkamerwandje

Proces

Logboek

Een onderdeel van het in te leveren werkstuk is een logboek. Ieder van jullie houdt zijn eigen persoonlijke logboek bij. Daarin noteer je wanneer je wat gedaan hebt. Zo'n logboek kan heel beknopt zijn: geen eindeloze verhalen, maar korte notities zoals "woensdag 29/1: 13.00-14.00 webartikelen gelezen; 14.00-15.00: eerste opzet van het hoofdstuk gemaakt". Je moet vooral met de opdracht zelf bezig zijn, en niet met allerlei administratieve rompslomp. Je complete logboek past waarschijnlijk op 1 A4'tje. Maar dat A4'tje moet er dan wél zijn aan het eind! Een logboek bijhouden kost geen tijd, als je het tenminste consequent bijhoudt, en niet 2 dagen later nog moet bedenken wat je eergisteren ook al weer gedaan had.

Deel 1 - verkenning: regelmatige vlakvullingen

Vooraf: je gaat waarschijnlijk heel wat Engelse websites tegenkomen, die nogal eens wiskundige vaktaal gebruiken. Je kunt dan kijken of woorden die je niet kent in mijn woordenlijstje staan. Zo niet, dan staat er op de Bronnen-pagina nog een link naar een (Engelstalig) wiskunde-woordenboek.

In het Taak-hoofdstuk zeiden we al dat een regelmatige vlakvulling er een is die zichzelf herhaalt. Dat is niet nauwkeurig genoeg (jawel, dit is wiskunde). Jullie zoeken om te beginnen twee definities en één formule:

1. Definitie 1: Wat is een regelmatige veelhoek (regelmatige polygoon)?
2. Definitie 2: Wat is een regelmatige vlakvulling (ook wel Platonische vlakvulling; in het Engels: regular tesselation)?

Hint: definitie 2 bestaat uit 3 voorwaarden.

• Formule: Bedenk een manier om van een regelmatige n-hoek de grootte van de hoeken te bepalen. Met andere woorden: produceer een formule waarin je voor "n" bijvoorbeeld "8" kunt invullen, en waar dan de grootte van de hoeken van een achthoek uitrolt. Dit moet je zelf uitvogelen: er is geen website verwijzing met de oplossing! Hint: trek vanuit 1 hoekpunt lijnen naar alle andere hoekpunten en verdeel zo de n-hoek in driehoeken. Wat weet je van de som van de hoeken van een driehoek? Hoeveel driehoeken heb je?

Er bestaan precies 3 regelmatige vlakvullingen, namelijk degenen die je hieronder ziet.

• Opdracht: bewijs dat er precies 3 regelmatige vlakvullingen bestaan. M.a.w. geef een onweerlegbaar argument waarom er niet meer kunnen bestaan. Hint: gebruik de Bronnen-pagina.

In het werkstuk

Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk exact beschreven. Met 'exact' bedoelen we dan: zo nauwkeurig, zonder details over te slaan, dat een klasgenoot die niets van dit onderwerp weet het probleemloos zou kunnen volgen. Of en hoe jullie het type-werk verdelen, moeten jullie zelf bepalen.

Deel 2 - semi-regelmatige vlakvullingen

Dit onderdeel doen jullie weer samen.

• Zoek uit wat een semi-regelmatige vlakvulling is (of Archimedische vlakvulling - Eng: semi-regular tesselation). Geef een nauwkeurige definitie.

Er blijken precies 8 Archimedische vlakvullingen te bestaan. Hieronder zie je er één:

Jullie gaan nu bewijzen dat er inderdaad precies 8 van dergelijke vlakvullingen bestaan. Klik hier om naar de pagina met aanwijzingen voor deze opdracht te gaan. Als je klaar bent, kom je hier weer terug.

In het werkstuk

Alle resultaten komen in het werkstuk. Geef tekeningen van alle mogelijke combinaties die jullie gevonden hebben, inclusief degenen die "niet werken". Geef ook de "namen", zoals we dat afgesproken hebben. Opmerking: een tekening hoeft slechts 1 hoekpunt te beslaan, en niet een heel gevuld vlak (dat zou veel te veel werk zijn). Dus voor de eerste vlakvulling op deze pagina, zou je alleen een driehoek, 2 vierkanten en een zeshoek tekenen. Probeer de tekeningen zo netjes mogelijk te maken, maar lig er niet van wakker als het niet allemaal helemaal klopt op papier.

Deel 3 - zelf vlakvullingen maken

Dit deel wordt door jullie individueel gedaan. Jullie bepalen zelf wie onderdeel 3A en wie onderdeel 3B doet.

Onderdeel 3A: translerende vlakvullingen

Onderstaand plaatje laat een zogenaamde translerende vlakvulling van Escher zien:

Doe/beantwoord het volgende:

1. Leg uit wat een translatie is en waarom een vlakvulling zoals hierboven wordt getoond een "translerende vlakvulling" heet.
2. Bovenstaand plaatje is gebaseerd op één van de drie regelmatige vlakvullingen. Welke? Neem bovenstaand plaatje in het werkstuk op, en teken er een passend rooster overheen dat deze regelmatige vlakvulling laat zien. Met andere woorden: je kunt een regelmatig rooster over deze tekening heen leggen, zodat één vakje van het rooster precies het hele patroon bevat. Zo'n vakje zou je als tegel kunnen gebruiken bij het tegelen van de badkamermuur. Als je hier klikt, krijg je een pagina met alleen bovenstaand plaatje er op. Die kun je dan makkelijk uitprinten.
3. Moet iedere translerende vlakvulling op deze zelfde regelmatige vlakvulling gebaseerd zijn, of kan je de andere twee regelmatige vlakvullingen daar ook voor gebruiken?
4. Geef een recept, zo nauwkeurig mogelijk, waarmee je zelf dergelijke translerende vlakvullingen kunt maken.
5. Ontwerp zelf zo'n vlakvulling.

Onderdeel 3B: roterende vlakvullingen

Onderstaand plaatje laat een zogenaamde roterende vlakvulling van Escher zien:

Doe/beantwoord het volgende:

1. Leg uit wat een rotatie is en waarom een vlakvulling zoals hierboven wordt getoond een "roterende vlakvulling" heet.
2. Bovenstaand plaatje is gebaseerd op één van de drie regelmatige vlakvullingen. Welke? Neem bovenstaand plaatje in het werkstuk op, en teken er een passend rooster overheen dat deze regelmatige vlakvulling laat zien. Met andere woorden: je kunt een regelmatig rooster over deze tekening heen leggen, zodat één vakje van het rooster precies het hele patroon bevat. Zo'n vakje zou je als tegel kunnen gebruiken bij het tegelen van de badkamermuur. Als je hier klikt, krijg je een pagina met alleen bovenstaand plaatje er op. Die kun je dan makkelijk uitprinten.
3. Moet iedere roterende vlakvulling op deze zelfde regelmatige vlakvulling gebaseerd zijn, of kan je de andere twee regelmatige vlakvullingen daar ook voor gebruiken?
4. Geef een recept, zo nauwkeurig mogelijk, waarmee je zelf dergelijke roterende vlakvullingen kunt maken.
5. Ontwerp zelf zo'n vlakvulling.

In het werkstuk 

Alles wat je gedaan/beantwoord hebt, komt in het werkstuk.

Deel 4

Dit bestaat weer uit 2 onderdelen: ieder van jullie doet 1 van de onderdelen. Spreek zelf of wie wat doet. Een individueel gedeelte dus.

Onderdeel 4A: verdieping

Schrijf een stukje over leven en werk van M.C. Escher. Laat dat niet een saaie opsomming van feitjes worden (toen werd-ie geboren, en toen ging-ie tekenen, en later ging-ie dood). Een paar historische momenten zijn natuurlijk wel relevant, maar hou het ter zake: pik vooral de dingen er uit die van belang zijn in het kader van deze webquest en/of de wiskunde. Wat hebben Escher, het Alhambra en vlakverdelingen met elkaar te maken? Kan je plaatjes van het Alhambra vinden? Ga in op het feit dat aanvankelijk vooral wiskundigen e.d. door zijn werk geboeid werden - en dat kwam niet alleen door die vlakverdelingen. Laat wat platen zien die wiskundigen interessant zouden vinden.

Onderdeel 4B: presentatie

Geef een presentatie voor de klas over jullie werkstuk. De presentatie duurt maximaal 15 minuten. Dat is kort, dus zorg dat je die tijd zinvol gebruikt. Een presentatie is niet hetzelfde als "het werkstuk voorlezen" - integendeel. Het is onmogelijk, en ook zeker niet de bedoeling, dat het hele werkstuk aan bod komt. Neem een interessant gedeelte en ga daar dieper op in. Je kunt bijvoorbeeld een tekening van Escher naar A3 uitvergroten met een kopieerapparaat en dat als demonstratiemateriaal voor de klas gebruiken. Hoe zit die tekening in elkaar? Vertel iets over rotatie of translatie, en hoe dat op die tekening van toepassing is. Neem desnoods twee exemplaren, eentje "gewoon" en eentje waar je de onderliggende regelmatige vlakvulling in hebt getekend. Of doe iets heel anders dan wat hier staat. Kortom: wees creatief.

Deel 5 - afsluiting

Als al het denk- en schrijfwerk achter de rug is, voeg je de verschillende stukken samen tot één werkstuk. Zorg dat het geheel er verzorgd uitziet. Nette hoofdstukindeling, alineaindeling, goed gebruik van kopjes waar nodig, een niet al te grote letter gebruiken, inhoudsopgave, bronvermelding, functioneel gebruik van illustraties, enzovoorts. Zie ook het hoofdstuk 'evaluatie' voor dingen waar je op moet letten.

Achterin het werkstuk voeg je als appendix toe:

1. Een blaadje waarop staat hoe jullie de taken verdeeld hebben: wie heeft wat gedaan?
2. Het logboek van ieder van jullie, waarin je bijgehouden hebt wanneer je wat hebt gedaan.

Belangrijke suggestie: dit werkstuk gaat waarschijnlijk relatief veel plaatjes bevatten. Ik kan me voorstellen dat je het lastig vindt om plaatjes van het web naar een Word document te krijgen, enzovoorts. Je kunt dat eventueel als volgt oplossen: neem alle plaatjes op als appendix achterin je werkstuk - gewoon 1 (desnoods uitgeknipt en opgeplakt) plaatje per pagina, en verder geen gedoe - en nummer ze. In de "body" van het werkstuk kun je dan de plaatjes achterwege laten, en naar de nummers van de appendix verwijzen. Dat maakt het leven waarschijnlijk een stukje eenvoudiger.

Het werkstuk wordt op tijd ingeleverd. Op het moment dat je het inlevert wordt er een afspraak gemaakt voor de presentatie die één van jullie gaat houden.

home| introductie | taak | proces | evaluatie | conclusie | bronnen | email