Omega Art - Webquest Vlakvulling: proces


^	Introductie	Taak	Proces	Evaluatie	Conclusie	Bronnen	@

Een nieuw badkamerwandje

Proces - deel 2

Jullie hebben al uitgezocht wat een Archimedische (semi-regelmatige) vlakvulling is. Je moet nu aantonen dat er daar precies 8 van zijn. Het bewijs daarvan lijkt sterk op de manier waarop jullie al bewezen dat er 3 Platonische vlakvullingen zijn, alleen heeft dit wat bewijs wat meer voeten in de aarde. Hieronder worden jullie een beetje op weg geholpen.

Het aantal semi-regelmatige vlakvullingen dat je kunt maken, heeft natuurlijk te maken met het aantal manieren waarop je regelmatige veelhoeken rond een hoekpunt kunt leggen, zonder overlap en zonder "kieren". Als je daar even wat mee experimenteert, merk je al snel dat dat op een beperkt aantal manieren kan. Eigenlijk is dit een soort combinatorisch probleem.

Een notatie

Om het praten over dit soort vlakvullingen te vergemakkelijken, is het handig om er een speciale notatie voor af te spreken. We kijken nog eens naar het voorbeeld van de vorige pagina:

Rondom ieder hoekpunt zie je een driehoek, twee vierkanten en een zeshoek liggen. We beginnen bij de figuur met de minste hoeken, de driehoek. Dan lopen we rond het hoekpunt en schrijven op hoeveel hoekpunten iedere figuur heeft waar we doorheen lopen: 3, 4, 6, 4. We noemen dit nu een 3-4-6-4 vlakvulling. Dus: altijd beginnen bij het kleinste aantal hoeken, en dan rondlopen en hoekpunten tellen.

Als we de keus hebben, proberen we zo veel mogelijk van "laag naar hoog" te nummeren. Bijvoorbeeld:

We kunnen dit een 3-4-4-3-3 vlakvulling noemen, of 3-3-4-4-3. We noemen het echter 3-3-3-4-4: bij de rondwandeling om een hoekpunt kunnen we immers beginnen met door de drie driehoeken te lopen, en dan pas door de twee vierkanten. De vorige vlakvulling kunnen we echter niet een 3-4-4-6 vulling noemen: we kunnen immers niet, al rondlopend, achtereenvolgens door de driehoek, 2 vierkanten en zeshoek komen?

Systematisch tellen

Om te bepalen welke semi-regelmatige vlakvullingen er mogelijk zijn, moet je nu systematisch alle mogelijke combinaties nagaan. Dat is vooral een kwestie van zorgvuldig werken. Onderschat dit onderdeel niet: dit kan wel eens veel werk zijn! Begin met een tabel te maken waarin van een verzameling regelmatige veelhoeken de grootte van de hoek staat: dat is een handig hulpmiddel bij het telwerk.

Hint: je hebt alleen de driehoeken t/m twaalfhoeken nodig. Je mag je daartoe beperken, en het daarmee doen. Voor bonuspunten toon je ook aan dat je inderdaad niet "meer dan 12"-hoeken nodig hebt. Het kost geen punten als je dat achterwege laat.

Als jullie het goed doen, vind je meer dan 8 mogelijkheden. Ga na welke van alle gevonden mogelijkheden ook daadwerkelijk het vlak kunnen vullen: sommigen kunnen dat namelijk niet! Je houdt er dan, als het goed is, 8 over. Geef de namen van die 8, zoals we hierboven afgesproken hebben.

Beschrijf het een en ander nauwkeurig, op zo'n manier dat een klasgenoot zonder kennis van zaken kan volgen wat er gebeurt. Dat betekent waarschijnlijk ook dat er een hoop getekend moet worden. Om het tekenwerk te vergemakkelijken, is er een pagina waarop de 3- t/m 12-hoeken staan, op zo'n formaat dat je ze "aan elkaar kunt leggen" (m.a.w. alle zijden zijn even lang). Print die pagina uit (1 of meer keer). Je kunt dan bijvoorbeeld de veelhoeken uitknippen en gebruiken, of (makkelijker) overtrekken of iets dergelijks. Klik hier voor de veelhoeken-pagina. Opmerking: het feit dat alle veelhoeken van 3 t/m 12 op de net genoemde pagina staan, betekent niet perse dat je ze ook allemaal nodig hebt. Wellicht bestaat er helemaal geen semi-regelmatige vlakvulling waarin bijvoorbeeld zevenhoeken voorkomen... Dat is aan jullie om uit te zoeken.

Laatste hint: op de Bronnen-pagina staat een webpagina die o.a. over het hierboven besproken naamgeven gaat, en over de (on)mogelijke semi-regelmatige vlakvullingen. Een bewijs wordt daar echter niet gegeven. Zoek zelf uit welke pagina dat is.

In het werkstuk

Alle resultaten komen in het werkstuk. Geef tekeningen van alle mogelijke combinaties die jullie gevonden hebben, inclusief degenen die "niet werken". Geef ook de "namen", zoals we dat hierboven afgesproken hebben. Opmerking: een tekening hoeft slechts 1 hoekpunt te beslaan, en niet een heel gevuld vlak (dat zou veel te veel werk zijn). Dus voor de eerste vlakvulling op deze pagina, zou je alleen een driehoek, 2 vierkanten en een zeshoek tekenen. Probeer de tekeningen zo netjes mogelijk te maken, maar lig er niet van wakker als het niet allemaal helemaal klopt op papier.