 |
 |
|
 |
|
|
|
|
|
^ |
Introductie |
Taak |
Proces |
Evaluatie |
Conclusie |
Bronnen |
@ |
Een onderdeel van het in te leveren werkstuk is een logboek. Ieder van jullie houdt zijn eigen persoonlijke logboek bij. Daarin noteer je wanneer je wat gedaan hebt. Zo'n logboek kan heel beknopt zijn: geen eindeloze verhalen, maar korte notities zoals "woensdag 29/1: 13.00-14.00 webartikelen gelezen; 14.00-15.00: eerste opzet van het hoofdstuk gemaakt". Je moet vooral met de opdracht zelf bezig zijn, en niet met allerlei administratieve rompslomp. Je complete logboek past waarschijnlijk op 1 A4'tje. Maar dat A4'tje moet er dan wél zijn aan het eind! Een logboek bijhouden kost geen tijd, als je het tenminste consequent bijhoudt, en niet 2 dagen later nog moet bedenken wat je eergisteren ook al weer gedaan had.
Het volgende doe je samen met je partner.
In dit deel ga je samen met je partner het basis-probleem oplossen. Daarnaast gaan jullie het eerste bewijs over dit probleem uitpluizen. Je wordt daarbij "aan de hand" genomen, zodat je gevoel krijgt voor wat een bewijs nou precies inhoudt, en wat een goede aanpak is.
Klik hier om naar de pagina met het probleem en het bewijs te gaan. Kom daarna hier terug om verder te gaan met deel 2.
Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk exact beschreven. Met 'exact' bedoelen we dan: zo nauwkeurig, zonder details over te slaan, dat een klasgenoot die niets van dit onderwerp weet het probleemloos zou kunnen volgen. Of en hoe jullie het type-werk verdelen, moeten jullie zelf bepalen.
Dit deel bestaat uit twee eenpersoons-onderdelen, 2A en 2B. Jullie bepalen in onderling overleg wie welk onderdeel doet. De onderdelen worden dus individueel uitgevoerd.
Ga naar http://www.cut-the-knot.org/water2.shtml. Ergens halverwege de pagina vind je het bewijs dat je in deel 1 hebt uitgeplozen. Vlak daaronder staat een andere stelling, waarvan het bewijs in 3 stappen wordt uitgelegd. (Het stukje dat begint met "Is it too simple? Check this generalization of the original puzzle:")
Pluis dit bewijs helemaal uit, en schrijf het zo op dat een "onwetende klasgenoot" het zou kunnen volgen. Zorg dat je niets bij de lezer bekend veronderstelt. Dat betekent o.a. dat al het rekenwerk (voor zover er gerekend wordt) helemaal uitgeschreven moet worden.
Hint: bij de tweede stap staat onderaan een link (in "Then the following is, of course, true"). Die heb je niet nodig; integendeel, die link is waarschijnlijk alleen maar verwarrend. Dat wat hier staat "of course true" is, kan je zelf nagaan door voor a, b, X en Y de goede dingen in te vullen en dan het een en ander uit te werken.
Het bewijs is constructief. Dat betekent: het toont niet alleen aan dat er een oplossing is, maar ook hoe je die oplossing kunt bereiken. Laat zien dat de stelling die hier bewezen wordt van toepassing is op het oorspronkelijke probleem (m.a.w. dat de hoeveelheden 3, 5, 8 en 4 aan de condities voldoen), en gebruik het "recept" uit dit bewijs om de puzzel nogmaals op te lossen. Vind je nu een nieuwe oplossing, of dezelfde als die jullie in Deel 1 al gevonden hebben?
Ga naar http://www.cut-the-knot.com/wgraph.shtml. Hier vind je een geheel andere aanpak van hetzelfde probleem, die gebruik maakt van grafen.
Zoek uit wat een graaf precies is. Zoek uit hoe de aanpak van bovengenoemde pagina precies werkt. Onderzoek nauwkeurig welk soort wegen er in de graaf bij deze aanpak mogelijk zijn: kan je horizontaal/verticaal bewegen? Schuin omhoog/omlaag? Kan ieder punt van de graaf eindpunt zijn? Enzovoorts. Behandel deze aanpak op een manier doe voor "onwetende klasgenoten" begrijpelijk zou zijn.
In deel 1 heb je een variant opgelost met vaten van 3, 8 en 11 liter, en een doel van 9 liter. Teken de "oplossingsgraaf" die bij dit probleem hoort, net zoals op de website het 3-5-8-4 probleem wordt opgelost. Laat ook op soortgelijke wijze zien wat het probleem is met 3, 9 en 12 liter vaten en een doel van 5 liter. In deel 1 zijn jullie dit probleem al tegen gekomen, en hebben jullie een vermoeden geformuleerd over waarom het fout gaat. Kan je dat vermoeden vertalen naar deze aanpak met grafen? Zorg dat je in alles wat je opschrijft duidelijk bent!
Leg tot slot je partner uit hoe dit alles werkt, of laat hem/haar jouw stukje lezen (meteen een goede test om te zien of je stuk duidelijk is!). Dit is nodig om deel 3 tot een goed eind te brengen.
De resultaten van beide onderdelen worden in het werkstuk opgenomen.
Dit deel wordt weer door jullie samen gedaan. Degene die deel 2B heeft gedaan, heeft de daar behandelde aanpak uitgelegd aan degene die 2A heeft gedaan.
Ga naar http://www.cut-the-knot.com/triangle/glasses.shtml. Hier wordt een aanpak behandeld die gebruik maakt van zgn. barycentrische coördinaten - dat zijn coördinaten in een soort driehoekig assenstelsel. Let even op: de volgorde van de vaten is hier niet 3, 5, 8 zoals we steeds gedaan hebben, maar 8, 5, 3 - dat maakt verder natuurlijk niet uit, maar je moet er even op bedacht zijn.
- Leg uit hoe je precies in de getoonde driehoek ABC de coördinaten van een willekeurig punt bepaalt.
- Leg uit wat het gieten van wijn uit het ene in het andere vat voor "beweging" over het driehoekige rooster oplevert. Zijn alle denkbare bewegingen mogelijk? Kan ieder punt van het rooster "eindpunt" van zo'n giet-actie zijn? Wat stellen de rode lijnen in het rooster voor?
- Welke punten (meervoud!) in het rooster komen overeen met oplossingen van het oorspronkelijke probleem? Leg duidelijk uit hoe je met deze "barycentrische aanpak" de oplossing van het oorspronkelijke probleem kunt vinden. Wat heeft dit met biljarten te maken?
Op http://www.cut-the-knot.org/ctk/Water.shtml vind je ergens voorbij de helft een applet waarmee je dit "biljartspel" kunt spelen. Zet de 'Trace" knop aan en speel de oplossing na die je in Deel 1 voor het oorspronkelijke spel gevonden had. Zorg dat in je werkstuk een tekening van dit "spel" komt te staan. Op de bronnen-pagina vind je verwijzingen naar pagina's die "lege biljarttafel" plaatjes bevatten die je o.a. voor je tekeningen kan gebruiken.
Stel de applet in op vaten van 3, 9 en 12 liter, vul het grootste vat met 12 liter, en probeer weer 9 liter af te meten. Dit gaat (uiteraard) alweer fout, net als in Deel 1. Je hebt nu echter een grafische manier om te zien waarom het fout gaat. Beschrijf dat, en vergelijk het met wat één van jullie in Deel 2B gedaan heeft.
In Deel 1 hadden jullie een vermoeden opgeschreven waarom dit probleem onoplosbaar is. Probeer het biljartspel nog eens met vaten van 6, 9 en 12 liter en een doel van 9. Dit laat zien dat het probleem niet is dat het ene vat (9) een veelvoud van het andere (3) is.
Moet jullie vermoeden uit Deel 1 bijgesteld worden? Of: kan het nog scherper worden geformuleerd?
Bonus (niet verplicht, maar kan wel extra punten opleveren): Onder de applet staat een lastig stuk tekst met 3 plaatjes. Met wat creatief denken heb je de tekst niet nodig om te begrijpen wat er in de plaatjes gedaan wordt. Probeer uit te leggen wat de plaatjes te maken hebben met de oplosbaarheid van het oorspronkelijke "3-5-8 naar 4" probleem, en (als dat gelukt is) probeer een zelfde redenering te gebruiken om te laten zien dat het "3-9-12 naar 5" probleem onoplosbaar is.
Alle resultaten komen in het werkstuk. Zorg dat je voldoende tekeningen gebruikt waar dat nodig is. Omdat het tekenen van die driehoekige coördinaten systemen lastig en tijdrovend is, staan er op de Bronnen-pagina verwijzingen naar pagina's die al kant en klare lege plaatjes voor de verschillende problemen bevatten - uitprinten, klaar. Maak daar gebruik van.
Dit bestaat weer uit 2 onderdelen: ieder van jullie doet 1 van de onderdelen. Spreek zelf of wie wat doet. Een individueel gedeelte dus.
Ga naar http://www.cut-the-knot.com/ctk/CartWater.shtml. Met emmers van 11 en 6 liter moet je nu 8 liter uit een rivier halen. Merk op dat het verschil nu is dat de rivier onbeperkt veel water bevat. Los het probleem op, en schrijf je oplossing op. Hint: zet de Trace knoop aan en probeer weer het systeem te ontdekken van "mogelijke bewegingen" over het rooster. Buit dat uit om de oplossing te vinden. Gebruik de "Back" knop als je een foute beweging maakt. Maak aantekeningen terwijl je bezig bent.
Doe dezelfde puzzel met vaten van 3 en 5 liter en probeer 4 liter af te meten. Dit is dus het oorspronkelijke probleem, behalve dat je een hele rivier hebt in plaats van een 8 liter vat. De vraag waar het nu om gaat is: maakt het uit dat je onbeperkt veel water hebt in plaats van 8 liter? Zijn er nu oplossingen mogelijk die in het originele probleem niet mogelijk waren? Probeer hier zo zorgvuldig mogelijk over na te denken.
Hint: teken een graaf (zie deel 2B) of een barycentrisch rooster (zie deel 3) voor dit probleem. Is de graaf of het rooster wezenlijk anders dan bij het originele probleem?
Geef een presentatie voor de klas over jullie werkstuk. De presentatie duurt maximaal 15 minuten. Dat is kort, dus zorg dat je die tijd zinvol gebruikt. Een presentatie is niet hetzelfde als "het werkstuk voorlezen" - integendeel. Het is onmogelijk, en ook zeker niet de bedoeling, dat het hele werkstuk aan bod komt. Neem een interessant gedeelte en ga daar dieper op in. Je kunt bijvoorbeeld de klas eerst het probleem zelf laten oplossen, en daarna de aanpak met barycentrische coördinaten behandelen (of de aanpak met grafen). Wees creatief.
Als al het denk- en schrijfwerk achter de rug is, voeg je de verschillende stukken samen tot één werkstuk. Zorg dat het geheel er verzorgd uitziet. Nette hoofdstukindeling, alineaindeling, goed gebruik van kopjes waar nodig, een niet al te grote letter gebruiken, inhoudsopgave, bronvermelding, functioneel gebruik van illustraties, enzovoorts. Zie ook het hoofdstuk 'evaluatie' voor dingen waar je op moet letten.
Achterin het werkstuk voeg je als appendix toe:
- Een blaadje waarop staat hoe jullie de taken verdeeld hebben: wie heeft wat gedaan?
- Het logboek van ieder van jullie, waarin je bijgehouden hebt wanneer je wat hebt gedaan.
Het werkstuk wordt op tijd ingeleverd. Op het moment dat je het inlevert wordt er een afspraak gemaakt voor de presentatie die één van jullie gaat houden.
home| introductie | taak | proces | evaluatie | conclusie | bronnen | email
(c) H.J. Veenstra 2003