 |
 |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
Introductie |
Taak |
Proces |
Evaluatie |
Conclusie |
Bronnen |
@ |
Het probleem is in de introductie al vermeld: je hebt een vat met 8 liter wijn, en 2 lege vaten van 3 en 5 liter. Je moet nu 4 liter wijn afmeten, met behulp van deze 3 vaten. Het is duidelijk dat je niet bijvoorbeeld 1 liter uit het 8-liter vat in het 5-liter vat kunt gieten: je hebt geen idee hoeveel 1 liter is. Dat betekent dat je als allereerste stap maar 2 dingen kan doen: giet het 3-liter vat vol (zodat er 5 liter in het 8-liter vat blijft zitten), of giet het 5-liter vat vol (zodat er 3 liter in het 8-liter vat blijft zitten).
Los het probleem samen op, en schrijf precies op welke stappen er nodig zijn om tot de oplossing te komen. Verzin een handig notatie om het een en ander op te schrijven. Een mogelijke manier is om steeds een rijtje van 3 getallen op te schrijven, wat de inhoud van respectievelijk het 3, 5 en 8-liter vat voorstelt. De startsituatie is dan "0 - 0 - 8", en na 1 stap heb je "3 - 0 - 5" of "0 - 5 - 3".
Nadat het probleem opgelost is: de verschillende vaten bevatten tijdens het heen-en-weer schenken verschillende hoeveelheden wijn. Is er een hoeveelheid (tussen 0 en 8 uiteraard) die niet voorkomt? Zo ja: lukt het jullie om die hoeveelheid af te meten?
Ga naar http://www.cut-the-knot.com/Curriculum/Arithmetic/3Jugs.shtml. Je vindt daar een applet waarmee je het voorgaande probleem en varianten erop visueel kunt oplossen. Laat de vaten nu 3, 8 en 11 liter bevatten, en probeer 9 liter af te meten. Schrijf weer precies op hoe je het doet.
Neem nu vaten van 3, 9 en 12 liter. Probeer 5 liter af te meten. Tegen welk probleem loop je op? Probeer zo exact mogelijk te beschrijven wat het probleem is. Probeer een vermoeden te formuleren over wat er mis gaat: waaraan moeten de volumes van vaten en doelhoeveelheid aan voldoen, wil het probleem oplosbaar zijn? Test je eigen regel: als de vaten en het doel er niet aan voldoen, is het probleem dan inderdaad onoplosbaar? Als de vaten en het doel er wel aan voldoen, is het probleem dan inderdaad wel oplosbaar? Een hard bewijs is absoluut niet nodig - het gaat erom dat je je eigen intuïtie test en onzinnige ideeën zo snel mogelijk elimineert. Zoek in mijn woordenlijstje de begrippen "relative prime" en "factor" op: kun je daar iets mee?
Tip: als je worstelt met de Engelse wiskundetermen, kijk dan in mijn woordenlijstje of de probleemwoorden er in staan. Zo niet, dan staat er op de Bronnen pagina nog een link naar een Egels woordenboek met wiskundetermen.
Stel dat de 3 vaten van klein naar groot respectievelijk a, b en c liter kunnen bevatten. Het doel is om d liter af te meten. (Uiteraard zijn a, b, c en d weer allen hele getallen en geen breuken o.i.d). Bewijs dan dat het volgende correct is:
Stel dat a, b en c aan de volgende voorwaarden voldoen:
- a = 1
- b > (0.5c - 1)
De puzzel heeft dan een oplossing voor ieder doel d met 1 < d < c.
Let op: maakt het uit of c even of oneven is?
Je zult ontdekken dat het bovenstaande tamelijk flauw is, maar daar gaat het niet om: het gaat er om dat je zo precies mogelijk opschrijft waarom het waar is: dat is waar het bij bewijzen om gaat.
Alle resultaten die je hierboven hebt gevonden worden in het werkstuk exact beschreven. Met 'exact' bedoelen we dan: zo nauwkeurig, zonder details over te slaan, dat een klasgenoot die niets van dit onderwerp weet het probleemloos zou kunnen volgen. Of en hoe jullie het type-werk verdelen, moeten jullie zelf bepalen.
Ga, als jullie klaar zijn, weer terug naar de Proces-pagina.
home| introductie | taak | proces | evaluatie | conclusie | bronnen | email
(c) H.J. Veenstra 2003